专题12 平方差与完全平方公式的几何背景（五大类型）-2022-2023学年七年级数学下册《高分突破•培优新方法》（浙教版）

学利四 学科网原创，让学司更名易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 专题12平方差与完全平方公式的几何背景（五大类型） 解题方法 【考点1平方差的几何背景】 【典例1】(2022秋·永春县期中)如图，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方 形(>b),把余下的部分剪拼成一个长方形，通过计算两个图形阴影部分的面积，验证 了一个等式，则这个等式是() a-b b A.a2-ab=a (a-b) B.(a+b)2=a2+2ab+b2 C.(a-b)2=a2-2ab+b2 D.a2-b2=(a+b)(a-b) 【变式1-1】(2022春·市中区校级月考)如图，从边长为(a+4)cm的正方形纸片中剪去一 个边长为(a+2)cm的正方形(a>0),剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝 隙)，则矩形的面积为() A.(2a2+5a)cm2 B.(3a+15)cm2 C.(4a+12)cm2 D.(6a+15)cm2 【变式1-2】(2022春·新泰市期末)将图甲中阴影部分的小长方形变换到图乙位置，你能根 据两个图形的面积关系得到的数学公式是() 甲 学利网 学科网原创，让学司更名易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 A.(a-b)(a+b)=a2-b2 B.(a+b)2=a2+2ab+b2 C.(a-b)2=a2-2ab+b2 D.(2a-b)2=4a2-4ab+b2 【典例2】(2022春·天桥区校级期中)从边长为a的正方形剪掉一个边长为b的正方形（如 图1)，然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）. (1)上述操作能验证的等式是 (2)若x2-9y2=12,+3y=4,求x-3y的值： 42 20212)(11 1 3)计算：1-2)1-2214乏1 20222, b 图1 图2 【变式2】(2022春·威阳月考)如图，图1为边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正 方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形。 (1)设图1中阴影部分面积为S1,图2中阴影部分面积为S2,请用含a、b的代数式表 示：S1= ，S2= (2)以上结果可以验证哪个乘法公式？请写出这个乘法公式 (3)运用(2)中得到的公式，计算：20222-2021×2023. b 图1 图2 2 学利网 学科网原创，让学司更名易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 【典例3】(2022春·宝安区期末)初中数学的一些代数公式可以通过几何图形的面积来推导 和验证.如图①，从边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形后，将其沿虚线 裁剪，然后拼成一个矩形（如图②）. (1)通过计算图①和图②中阴影部分的面积，可以验证的公式是： (2)小明在计算(2+1)(22+1)(24+1)时利用了(1)中的公式： (2+1)(22-1)(2+1) =(2-1)(2+1)(22+1)(24+1) (请你将以上过程补充完整.) (3)利用以上的结论和方法、计算：1+(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1). 图① 图② 【变式3】(2021春·高明区期末)如图1所示，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正 方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形，设图1中阴影部分面积为，图2 中阴影部分面积为S2: (1)请直接用含a和b的代数式表示S= S2= 写出利 用图形的面积关系所得到的公式： (用式子表达) @应用公式第(1录)1京)1安)1京(1这)1立) (3)应用公式计算：(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)+1. 3 学利网 学科网原创，让学司更名易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 图1 图2 【考点2完全平方的几何背景】 【典例4】(2022秋·南昌县期中)如图1所示是一个长为2m,宽为2n的长方形，沿虚线用 剪刀均分成四个小长方形，然后按图2的方式拼成一个正方形. (1)图2中的阴影部分的正方形的边长等于 (2)请用两种不同的方法列代数式表示图2中阴影部分的面积：方法①一；方法 ②」 (3)观察图2，直接写出(m+n)2,(m-n)2,mn这三个代数式之间的等量关系： (4)根据(3)题中的等量关系，解决如下问题：若a+b=8,ab=5,求(a-b)2的值. 2m 2n ① ② 【变式41】(2022春·玄武区校级期中)观察图形，用两种不同的方法计算大长方形面积， 我们可以验证等式() b b b A.(atb)(a+2b)=a243ab+2b2 B.(a+b)(2a+b)=2a2+3ab+b2 C.(a+b)(a+2b)=2a2+3ab+b2 D.(atb)(2a+b)=a2+3ab+2b2 【变式42】(2022秋·渝中区校级月考)如图，两个正