考点16 阅读（数论）-2023中考数学重点题型精准提分专练（重庆专用）

阅读（数论）--2023中考数学精准提分训练（重庆专用） 1．若一个四位自然数m＝的各数位上的数字满足a﹣b＝b﹣c＝c﹣d＝k（k≠0），则称该数为“等差数”．把自然数m的千位和个位上的数字之差的平方与百位和十位上的数字之差的平方作差，记为F（m），即F（m）＝（a﹣d）2﹣（b﹣c）2 例如：1357是一个“等差数”，F（1357）＝（1﹣7）2﹣（3﹣5）2＝32 4321是一个“等差数”，F（4321）＝（4﹣1）2﹣（3﹣2）2＝8 （1）证明：任意一个“等差数”与它百位上的数字之和一定能被4整除； （2）如果一个“等差数”p的各个数位数字之和与其千位数字的两倍之差是一个完全平方数，求所有满足条件的“等差数”p，并求所有满足条件的“等差数”p中F（p）的最小值． 2．如果一个四位自然数M各位数字都不为0且互不相等，千位比百位大3，十位比个位大3，我们把这个数M称为“尔畔数”，把一个“尔畔数”的千位和十位对调，百位和个位对调后得到数M1，记F（M）＝，例如数4152，4﹣1＝3，5﹣2＝3，∴4152是“尔畔数”，且F（4152）＝＝﹣1． （1）判断8574和9876是否为“尔畔数”？请说明理由． （2）若一个“尔畔数”M的千位与百位的乘积与十位与个位的乘积的差是11的倍数，求出所有F（M）的值． 3．材料一：已知N为一个四位自然数，若N满足千位上的数字等于个位上的数字，百位上的数字等于十位和个位上的数字之和，则称N为“等和数”． 材料二：对于一个“等和数”N，将N的百位数字记为n，千位与百位上的数字之和与十位土的数字的积记为k，令F（N）＝3n2+k． 例如：当N＝2312时，∵2＝2且3＝1+2，∴2312是“等和数”：此时，n＝3，k＝（2+3）×1＝5，F（2312）＝3×32+5＝32；当N＝4524时，∵4＝4但5≠2+4，∴4524不是“等和数”． （1）请判断3543，1211是否是“等和数”，并说明理由；如果是，请求出对应的F（N）的值； （2）若一个数是某个整数的平方，则称这个数为完全平方数．已知N是个位上的数字小于十位上的数字的“等和数，将N的各个数位上的数字之和记为G（N），若为完全平方数，求N的所有可能值． 4．如果一个自然数M的个位数字不为0，且能分解成A×B，其中A与B都是两位数，A与B的十位数字相同，个位数字之和为8，则称数M为“风雨数”，并把数M分解成M＝A×B的过程，称为“同行分解”． 例如：∵572＝22×26，22和26的十位数字相同，个位数字之和为8，∴572是“风雨数”． 又如：∵234＝18×13，18和13的十位数字相同，但个位数字之和不等于8，∴234不是“风雨数”． （1）判断195，621是否是“风雨数”？并说明理由； （2）把一个“风雨数”M进行“同行分解”，即M＝A×B，A与B之和记为P（M），A与B差的绝对值记为Q（M），令G（M）＝，当G（M）能被8整除时，求出所有满足条件的M． 5．若一个四位数的千位数字和个位数字相等，且各数位上的数字之和大于7，称这样的数为“始终如一数”．对于“始终如一数”n，若其个位数字为a，记． 例如：2232是“始终如一数”， ∵其千位数字和个位数字都等于2，且2+2+3+2＝9＞7 ∴2232是“始终如一数” （1）①判定2102是否为“始终如一数”并说明理由； ②计算D（3423）； （2）若“始终如一数”n的个位数字是1，且满足是完全平方数，求符合条件的所有n． 6．如果一个四位数M满足千位数字比百位数字小1，个位数字是十位数字的2倍，则称M为“绽放数”．例如：∵1212满足1＝2﹣1，2＝1×2，∴1212是“绽放数”．又如：∵7736的千位数字等于百位数字，∴7736不是“绽放数”．对任意实数m，n，规定F（m，n）＝． （1）判断3436，6720是否是“绽放数”？并说明理由． （2）若四位数M为“绽放数”，且M的百位数字为x，十位数字为y，x2﹣y2≤15，且F（2x﹣y，2y﹣x）是一个完全平方数，求满足条件的所有M． 7．如果一个自然数M能分解成p2+q，其中P与q都是两位数，p与q的十位数字相同，个位数字之和为9，则称数M为“好数”，并把数M＝p2+q的过程，称为“好分解”，例如：139＝112+18，11与18的十位数字相同，1+8＝9，所以139是“好数”；470＝212+29，21与29的十位数字相同，但1+9≠9，所以470不是“好数”． （1）判断268，1061是否是“好数”？并说明理由； （2）把一个四位“好数”M进行“好分解”，即M＝p2+q，并将P放在q的左边组成一个新的四位数N，若N能被4整除，且N的各个数位数字之和能被5整除，求出所有满足条件的M． 8．对于任意一个四位数N，如果N满