专题6.4 解三角形专题训练（强化题型）-【题型分层练】2022-2023学年高一数学知识梳理与题型分层精练（人教A版2019必修第二册）

专题6.4 解三角形专题训练 三角函数主要考查利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形的度量问题，常与同角三角函数的关系、诱导公式、和差角公式等交汇命题，多以选择、填空、解答题的形式出现，属解答题中的低档题．以正弦定理、余弦定理，尤其是两个定理的综合应用为主要考点，可能与三角函数的图象和性质等交汇命题，重点考查计算能力以及应用数学知识分析和解决问题的能力． 本考点一直是高考的热点，尤其是已知边角求其他边角，判断三角形的形状，求三角形的面积考查比较频繁，既有直接考查两个定理应用的选择题或填空题，也有考查两个定理与和差公式、倍角公式及三角形面积公式综合应用的解答题，解题时要掌握正、余弦定理及灵活运用，注意函数与方程思想、转化与化归思想在解题中的应用. 1．已知，，分别为内角，，的对边，，． （1）求的大小； （2）若的面积为，点在边上，满足，求的长． 【解答】解：（1）已知，，分别为内角，，的对边，， 则， 又， 即， 则， 又， 则； （2）已知的面积为， 则， 即， 又， 则，， 又点在边上，满足， 则， 在中由余弦定理可得： ， 即的长为． 2．已知在中，，点在边上且满足，． （1）若的面积为，求的值； （2）若，求的大小． 【解答】解：（1），． 由余弦定理，得， ． （2）设，． 由是等腰三角形及可得： ，解得． 在内，由正弦定理，得， 在内，由正弦定理，得， ，， 即或， 或．的大小为或． 3．在中，内角，，所对的边分别为，，，且． （Ⅰ）求角的大小； （Ⅱ）若，且的面积为，求的周长． 【解答】解：（Ⅰ）由正弦定理及，知， 即， 由余弦定理得，， 因为，所以． （Ⅱ）因为的面积为， 所以，所以， 由（Ⅰ）知，， 因为，所以，所以， 所以， 所以， 所以的周长为． 4．已知． （1）求的值； （2）在中，，为锐角，且，，求的值． 【解答】解：（1）， ，即， ； （2），为锐角， 又，， ，即，， ， ， ， ， ， ． 5．已知，，分别为内角，，的对边，若同时满足下列四个条件中的三个：①；②；③；④． （1）满足有解三角形的序号组合有哪些？ （2）请在（1）所有组合中任选一组，求对应的面积． 【解答】解：（1）对于③：， 在中由正弦定理得，即， ，； 对于④：， ，即， 又，，，，则， 故③，④不能同时存在，则满足有解三角形的序号组合为①②③，①②④； （2）选①②③：当时， 由余弦定理得， 整理得且，则， 的面积为； 选①②④：当时， 由余弦定理得， 整理得，则， 的面积． 6．如图，平面四边形中，，，．的内角，，的对边分别为，，，且满足． （1）求四边形的外接圆半径； （2）求内切圆半径的取值范围． 【解答】解：（1）在中，，，，由余弦定理得， ，由正弦定理得，即， ， 又，则． ， ，则，，，四点共圆， 则四边形的外接圆半径就等于外接圆的半径， 又，则． （2）由（1）得，则， ， 则． 在中，由正弦定理得， ，，则， 又， ， ，，故． 7．在中，内角，，的对边分别为，，，满足，且． （1）求角的大小； （2）若的面积为，求边上的中线长． 【解答】解：（1），， 由正弦定理得， 由，得， 又由，得，，， 由余弦定理得， 又，， 由，，，得， ，； （2）由（1）得，，，，，，， 所以， 设的中点为，则， 在中，由余弦定理得， 所以边上的中线长为． 8．的内角，，的对边分别为，，，． （1）求； （2）若的面积为，，求的值． 【解答】解：（1）在三角形中，， 再由余弦定理可得：， 由题意可得，可得，， 所以； （2）由（1）可得，的面积为，，，可得， 由余弦定理可得可得， 可得， 即的值为． 9．在中，，，所对的边分别为，，，且，其中是三角形外接圆半径，且不为直角． （1）若，求的大小； （2）求的最小值． 【解答】解：（1）由余弦定理可得，可得， 再由正弦定理可得，， 所以， 在三角形中，可得，而， 可得； （2）由（1）可得， 在三角形中，可得或， 即，即，可得，与角不是直角矛盾， 或，可得， 所以，当且仅当时取等号，即时取等号， 所以的最小值为． 10．设的内角，，所对的边分别为，，，且． （1）求角的大小； （2）若，边上的中线，求的面积． 【解答】解：（1）由题意利用正弦定理可得， ， ，， ，即； （2）， ， 由中线， 得， ， ． 11．记的内角，，的对边分别为，，，已知． （1）证明：； （2）若，求的面积． 【解答】证明：（1）由及正弦定理得：，整理得，． 因为，， 所以， 所以或， 所以或（舍， 所以； （2）解：由及余弦定理得：，整理得， 又因为，可解得，， 则，所以是直角三角形， 所以的面积为． 12．在中，角，，的对边分别是，，，满足． （1）求； （2）已知点在边上，且是的平分