专题6.1 向量中的取值范围与最值问题（强化题型）-【题型分层练】2022-2023学年高一数学知识梳理与题型分层精练（人教A版2019必修第二册）

专题6.1 向量中的取值范围与最值问题 平面向量中的最值和范围问题，是一个热点问题，也是难点问题，这类试题的基本类型是根据给出的条件求某个量的最值、范围，如：向量的模、数量积、夹角及向量的系数．解决这类问题的一般思路是建立求解目标的函数关系，通过函数的值域解决问题，同时，平面向量兼具“数”与“形”的双重身份，解决平面向量最值、范围问题的另一个基本思想是数形结合．在高考各种题型均有出现如选择题、填空题和解答题，其试题难度属中高档题. 一．选择题（共9小题） 1．已知向量，满足，与的夹角为，若对一切实数，恒成立，则的取值范围是　　 A．， B．， C．， D． 【解答】解：，与的夹角为， ，化为， 即， 对一切实数，恒成立， ， 化为，解得． 故选：． 2．已知单位向量，，若对任意实数，恒成立，则向量，的夹角的取值范围为　　 A． B． C． D． 【解答】解：依题意，， 所以，即恒成立， 则△，解得， 故，的夹角的取值范围是． 故选：． 3．在中，，．为边上的动点，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【解答】解：以为坐标原点，建立如图所示平面直角坐标系， 则，，， 设，， 则，， 可得，， 的取值范围是，． 故选：． 4．已知是内一点，且，点在内（不含边界），若，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【解答】解：因为内一点，， 所以为的重心 又在内（不含边界），且当与重合时，最小，此时 所以，即， 当与重合时，最大， 此时 所以，，即， 因为在内且不含边界 所以取开区间，即， 故选：． 5．在平行四边形中，，，，点为边的中点，点为边上的动点，则的取值范围是　　 A． B． C．， D． 【解答】解：由题意如图：在上的射影为，当在点时，射影为，在时，射影为， 显然在时的投影取得最小值，在时，投影取得最大值， ，， 则的取值范围是：，， 故选：． 6．已知正三角形的边长为4，点在边上，则的最小值为　　 A．2 B．1 C． D． 【解答】解：建立如图所示的平面直角坐标系， 可知，，，， 则的方程为：，设，，， 所以，，， 当时，数量积取得最小值：． 故选：． 7．若点，，均位于单位圆上，且，则的最大值为　　 A． B． C． D．3 【解答】解：如图：过作的垂线，交于，作于， ． 故选：． 8．点，，在圆上，若，，则的最大值为　　 A．3 B． C．4 D．6 【解答】解：点，，在圆上，，， 设三角形的外接圆的半径为，可得，所以， 如图，因为，， 所以当与共线同向时，向量的数量积取得最大值：4． 故选：． 9．已知点是边长为1的菱形内一动点（包括边界），，则的最大值为　　 A． B． C．1 D． 【解答】解：以菱形的对角线所在直线为轴，中点为坐标原点，建立直角坐标系，可得，，，，，， 则，，设，， ， 作出直线，平移，经过点时，取得最大值， 则的最大值为． 故选：． 二．多选题（共5小题） 10．在边长为4的正方形中，在正方形（含边）内，满足，则下列结论正确的是　　 A．若点在上时，则 B．的取值范围为， C．若点在上时， D．当在线段上时，的最小值为 【解答】解：如图，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 则，，，，设，，，， ， ，，，，， 对于，由题意可得线段的方程为，，， 点在上，， ，， ，故正确； 对于，，，， ，，，，， ，，故错误； 对于，，，， ，，，， ，， ，则，， ，不满足， 不成立，故错误； 对于，，当且仅当时取等号， 当在线段上时，的最小值为，故正确． 故选：． 11．中，内角，，的对边分别为，，，为的面积，且，，下列选项正确的是　　 A． B．若，则有两解 C．若为锐角三角形，则取值范围是 D．若为边上的中点，则的最大值为 【解答】解：．因为，所以，，又，所以，错； ．若，且，则，三角形有两解，正确； ．若为锐角三角形，则，，所以，，，，正确； ．若为边上的中点，则，， 又，， ，，当且仅当时等号成立， 所以，所以，当且仅当时等号成立，正确． 故选：． 12．直角中，斜边，为所在平面内一点，（其中，则　　 A．的取值范围是 B．点经过的外心 C．点所在轨迹的长度为2 D．的取值范围是 【解答】解：由，又斜边，则，则，正确； 若为中点，则，故，又， 所以，，共线，故在线段上，轨迹长为1，又是的外心，正确，错误； 由上，则， 又，则，当且仅当等号成立， 所以，正确． 故选：． 13．设，，，，，，，则　　 A． B．的取值范围是， C．的最大值是7 D．的最小值是 【解答】解：，，，，，，， ，即，故正确， ，当，，都同向时，的长度最大为， 当，同向，且与方向相反时，的长度最小为1，即的取值范围是，，故正确， ， 则当，同向，且与同向时，最小