专题6.5 三角形中的四心问题（强化题型）-【题型分层练】2022-2023学年高一数学知识梳理与题型分层精练（人教A版2019必修第二册）

专题6.5 三角形中的四心问题 一、四心的概念介绍： （1）重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1． （2）内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等． （3）外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等． （4）垂心：高线的交点，高线与对应边垂直． 二、奔驰定理---解决面积比例问题 重心定理：三角形三条中线的交点. 已知的顶点，，，则△ABC的重心坐标为. 注意：（1）在中，若为重心，则． （2）三角形的重心分中线两段线段长度比为2:1，且分的三个三角形面积相等． 重心的向量表示：． 奔驰定理：，则、、的面积之比等于 奔驰定理证明：如图，令，即满足 ，，，故. 三、三角形四心与推论： （1）是的重心：． （2）是的内心：． （3）是的外心：． （4）是的垂心：． 【方法技巧与总结】 （1）内心：三角形的内心在向量所在的直线上. 为的内心. （2）外心：为的外心. （3）垂心：为的垂心. （4）重心：为的重心. 一．选择题（共21小题） 1．在中，，，，若点为的内心，则的值为　　 A．3 B． C． D． 【解答】解：由题得，故， 所以，解得； 设内切圆半径为，则， 即，故， 所以在上的投影的长度为， 所以． 故选：． 2．在三棱锥中，是的中点，是的重心，设，则　　 A． B． C． D． 【解答】解：因为点为的重心，所以， 故， 故选：． 3．已知点是所在平面内的一个动点，满足，则射线经过的　　 A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【解答】解：在的角平分线上， 又， 与共线且方向相同， 射线经过的内心． 故选：． 4．边长为2的正中，为重心，为线段上一动点，则　　 A．1 B．2 C． D． 【解答】解：因为边长为2的正中，为重心， 由向量数量积的性质可得，． 故选：． 5．设为的重心，则　　 A．0 B． C． D． 【解答】解：为重心， ， 则． 故选：． 6．点是三棱锥底面的重心，且满足，则为　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】解：是三棱锥底面的重心， ， 又， ，且， ． 故选：． 7．已知为的重心，记，，则　　 A． B． C． D． 【解答】解：在中，延长交于点，如图， 因为的重心，则点为线段的中点，， 所以． 故选：． 8．在中，为的重心，若，则外接圆的半径为　　 A． B．2 C． D． 【解答】解：在中，为的重心， 又， 则， 即， 即， 即， 即为正三角形， 又， 则， 即， 即， 即， 设外接圆的半径为， 则， 即， 故选：． 9．点是所在平面上一点，且满足，则点为的　　 A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【解答】解：作，，连结，与相交于，则，（平行四边形对角线互相平分）， ， 又，可得：， ， ，，在一条直线上，可得是边上的中线， 同理：，的延长线也为的中线． 为三角形的重心． 故选：． 10．在中，，，设是的内心，若，则的值为　　 A． B． C． D． 【解答】解：取中点，连接， 由，，是的内心， 则点在上，且， 设中内切圆的半径为，则， 又， 则， 即， 即，， 则， 则，， 则， 故选：． 11．已知点为的外心，的外接圆的半径为1，则与的夹角的正弦值为　　 A． B． C． D． 【解答】解：， ， ， 又， ， ， 而， 故． 故选：． 12．在中，设，那么动点形成的图形必通过的　　 A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心 【解答】解：如图所示： 设线段的中点为，则， ，， ， ，即且平分． 因此动点形成的图形必通过的外心， 故选：． 13．已知点是的内心，若，则　　 A． B． C． D． 【解答】解依题意，设，， 则四边形为平行四边形，因为为三角形内心，所以， 所以四边形为菱形，设该菱形的边长为，则，， 因为，， 所以三角形的内切圆半径， 由等积法，， ，解得， 所以为等腰三角形，所以． 故选：． 14．在中，内角，，所对的边分别为，，，且，，点为外心，则　　 A． B． C．10 D．20 【解答】解：如图， 分别设、的中点为、， 则 ． 故选：． 15．奔驰定理：已知点是内的一点，若，，的面积分别记为，，，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．如图，已知是的垂心，且，则　　 A． B． C． D． 【解答】解：因为是的垂心，延长交与点， 是的垂心，，则 ， 同理可得，所以， 又，所以， 又，所以， 不妨设，，，其中， 因为， 所以，解得或， 当时，此时，，，则，，都是钝角， 则，矛盾． 故，则，所以是锐角，，， 于是，解得． 故选：． 16．已知，是其内心，内角，，所对的边分别为，，，则　　 A． B． C． D．