第一次月考重难点特训（四）之平行四边形与函数综合-2022-2023学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（苏科版）

第一次月考重难点特训（四）之平行四边形与函数综合 【重难点题型】 1．（2022秋·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图1，点在边上，点是上的一动点，点是的中点，连接，设，，图2是点运动时随变化的关系图像，其中点是函数图像的最低点，则的值为（　　） A．24 B．26 C．28 D．30 【答案】C 【分析】如图所示，取中点，取中点，连接，，由图2可知，当时，，此时与重合，为的中点，即为的中点，分别为的中点，同理可证是的中位线，过点作于，连接并延长交于，由图2可知，点与点重合时，取得最大值,最大值即的长． 【详解】解：如图， 取中点，取中点，连接，， 由图2可知，当时，， ∴当时，，即当与重合时，， ∵此时与重合，为的中点，即为的中点， ∴， 同理当与重合时，即时，， ∵分别为的中点， ∴为的中位线， ∴， 同理可证是的中位线， ∴， ∴点在上， ∴当时，的值最小，即此时的值最小， 过点作于，连接并延长交于，由图2可知， ∴，， ∴， ∴， ∴点与点重合时，取得最大值， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，动点的函数图象，点到直线的距离垂线段最短，勾股定理等等，正确读懂函数图象作出辅助线是解题的关键． 2．（2022秋·河南信阳·九年级校考阶段练习）如图1，绕点A逆时针旋转，在此过程中的对应点依次为A、、连接，设旋转角为，，与之间的函数关系图像如图2，当时，的值为（    ） A．4 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】过点作于D，由题意可知，当，，设，则，可得，求出a，当时，解直角三角形求出即可． 【详解】解：过点作于D，如下图， 由题意得，当时，， ∴， 当时，，则， 设，则， ∵为直角三角形，由勾股定理可知， 即有， 解得 或（舍去）， 即，， 当时，，， ， ∴，，， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了旋转变换、勾股定理、函数图像等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 3．（2022秋·广东汕头·九年级林百欣中学校考期中）如图，在边长为4的菱形ABCD中，，点P从点A出发，沿路线A→B→C→D运动．设P点经过的路程为x，以点A，D，P为顶点的三角形的面积为y，则下列图象能反映y与x的函数关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点B作于点E，根据题意，得出，，再利用直角三角形所对的直角边等于斜边的一半，得出，在利用勾股定理，得出，然后分三种情况：当点P在线段AB上时，即时；当点P在BC上运动时，即；当点P在线段CD上时，即，进行讨论，即可得出结论． 【详解】解：如图1，过点B作于点E， ∵在边长为4的菱形ABCD中，， ∴， ∴， ∴，， 当点P在线段AB上时，即时，如图2，过点P作于点F， 则， ∴， ∴的面积随的增大而增大； 当点P在BC上运动时，即， ， ∴的面积保持不变； 当点P在线段CD上时，即，如图3，过点P作交AD的延长线于点H， ∴， ∴，，， ∴， ∴的面积随的增大而减小． 综上可得：当，随的增大而增大； 当时，随的增大而不变； 当时，随的增大而减小． 故选：B 【点睛】本题考查了动态问题与函数图象，涉及菱形的性质、含30°的直角三角形、勾股定理、三角形的面积等知识点，解本题的关键在根据点P运动的轨迹，分情况进行讨论． 4．（2021·辽宁丹东·校考模拟预测）如图，一次函数的图象为直线l，菱形，，，…按图中所示的方式放置，顶点，，，，…均在直线l上，顶点，，，…均在x轴上，则点的坐标是_________． 【答案】 【分析】首先求出直线l与坐标轴的交点坐标，然后根据菱形的性质依次求出，，……的坐标，找出规律，即可求解． 【详解】解：如图，设直线l与x轴的交点为M． 直线l的解析式为， ，， 四边形是菱形， 与关于y轴对称，与互相垂直平分， ，轴，且是的中位线， ． 同理，与互相垂直平分， 把代入得， ， 垂直平分， ，． 把代入得， ， 垂直平分， ，． 同理可得． 点的横坐标是，纵坐标是， 点的坐标是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查菱形的性质，一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是熟练掌握菱形的性质，正确得出点的坐标的规律． 5．（2020秋·重庆沙坪坝·八年级重庆八中校考阶段练习）已知点函数的图象上有两个动点，且，则四边形的周长最小值是____________． 【答案】 【分析】如图（见解析），先利用平行四边形的判定与性质可得，再利用轴对称的性质可得，然后根据两点之间线段最短可得的最小值为OC，最后利用一次函数的性质、两点之间的距离公式求出OC的长，由此即可得． 【详解】如图，过点A作PQ的平行线，过点P作AQ的平行线，两平行线交于点B，作点B关于直线的对称点C，连接PC、OC、BC，其中BC交直线于点D， ，