第一次月考重难点特训（三）之平行四边形性质综合-2022-2023学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（苏科版）

第一次月考重难点特训（三）之平行四边形性质综合 【重难点题型】 1．（2022秋·浙江嘉兴·八年级统考期末）如图，在中，，，点是边的中点， ，是射线上的一个动点，将点绕着点顺时针旋转得到点，则线段长度的最小值为（    ） A． B．1.5 C．2 D．1 【答案】A 【分析】根据动点最值问题-瓜豆原理模型：主动点与从动点到顶点的距离比为定值1；主动点与顶点、从动点与顶点连线夹角为定角，则点的运动轨迹与点的运动轨迹相同，连接并延长，由题意可知，从而确定轨迹为过点且垂直于直线的射线，根据点到直线的垂线段最小，勾股定理求值即可得到答案． 【详解】解：由题意可知，主动点与从动点到顶点的距离比为定值；主动点与顶点、从动点与顶点连线夹角为定角， 由瓜豆原理点的运动轨迹与点的运动轨迹相同，均为射线， 连接并延长，如图所示： 是射线上的一个动点，将点绕着点顺时针旋转得到点， ， 在中，，， ，， ， ， ， ， 在和中， ， 轨迹为过点且垂直于直线的射线，即在射线上运动， 当时，线段长度有最小值， 点是边的中点， 在中，，，则线段长度有最小值为， 故选：A． 【点睛】本题考查动点最值问题-瓜豆原理，涉及旋转性质、平行线性质、等腰直角三角形性质、全等三角形的判定与性质，点到直线垂线段最短等知识，熟练掌握动点最值问题的求解方法步骤是解决问题的关键． 2．（2022秋·浙江杭州·八年级杭州市采荷中学校考期中）如图，O是正内一点，，，，，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段，下列结论：①点O与的距离为6；②；③；④；⑤点P为内一点，则点P到三个顶点的距离和最小为.其中正确的结论是（    ） A．①②③⑤ B．①③④ C．②③④⑤ D．①②⑤ 【答案】D 【分析】由旋转的性质和三角形的全等以及三角形的面积公式可以判断①②③④的正误，再由三角形中垂线的性质可以确定⑤正误 【详解】∵线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段， ∴是正三角形，， ∴ ①正确 由①易得，,， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴ ②正确 ∴ ③错误 由③知 ∴ ④错误 根据三角形的性质可知：当点P是三角形三边的中垂线的交点时，到三角形三个顶点的距离和最小，距离和的最小值是 ∴ ⑤正确 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质以及勾股定理的运用，解决问题的关键是利用旋转变换构造等边三角形以及直角三角形 3．（2022春·重庆南岸·八年级校考阶段练习）如图，在正方形中，、是射线上的动点，且，射线、分别交、延长线于、，连接，在下列结论中：①；②；③；④若，则， ⑤，其中正确的结论有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】由“”可证，可得，故正确； 如图，在上截取连接，由“”可证，可得，由“”可证，可得， ，故正确； 如图2，将绕点顺时针旋转，得到，连接，由旋转的性质可得，，，由“”可证，可得，由勾股定理可得，故正确； 如图1，设，则，利用勾股定理可求,故错误； 由三角形的面积公式可求，故正确； 【详解】解：四边形是正方形， ，， ， ， ， 故正确； 如图1，在上截取，连接， ，,， ， ,， ， ， ， 又，， ， ，， 故正确； 如图2，将绕点顺时针旋转，得到，连接， ，， ，，， ， ，， ， ， 又，， ， ， 在中， ， ， 故正确； ， 设，则， ， 如图1，在上截取，连接， 由可得：， 设，则， ， ， ， ， ， 故错误； 如图1，， ， ， 故正确； 正确的结论有，共个． 故选： 【点睛】本题属于几何综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 4．（2022秋·江苏南通·八年级统考阶段练习）如图，中，，，，若D，E是边上的两个动点，F是边上的一个动点，，则的最小值为（　　） A．3 B． C． D．3 【答案】A 【分析】首先是含有角的直角三角形，因此可以得知各边的长分别为，．因为点，点是边上的两个动点，是边上的一个动点，求的最小值，就是需要转换成同一直线上求解，即求关于的对称点，作．构建平行四边形，作于点，交于点．利用平行四边形和对称图形的性质，找出线段之间的关系,求出的长度即为所求最小值． 【详解】解：如图，过点C作关于的对称点，连接，交于点N；过作，且，过作于点F，交AB于点E， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 又∵关于对称， ∴， ∴， 即的最小值为， ∵，， ∴， ∴，， 过作，则， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴’ 故选：A． 【点睛】本题主要考查动点构成的线段中最小值问题，转换成三点共线，并在垂直的时候最小，找到对称点，构建最短路径是解题的关键．