第一次月考重难点特训（二）之平行四边形与全等三角形综合-2022-2023学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（苏科版）

第一次月考重难点特训（二）之平行四边形与全等三角形综合 【重难点题型】 1．（2023春·八年级课时练习）如图，在平行四边形ABCD中，点E为AD的中点，连接CE，CE⊥AD，点F在AB上，连接EF，EF＝CE，若BC＝6，CD＝5，则线段BF的长为(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】延长FE交 CD的延长线于点M，连接CF， 由平行四边形的性质得出AB∥CD，BC=AD=6，证明△AEF≌△DEM(AAS)，由全等三角形的性质得出AF=DM，EF=EM， 设BF=x，则AF=DM=5-x，由勾股定理得出方程，则可得出答案． 【详解】如图，延长FE交CD的延长线于点M，连接CF， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB∥CD，BC=AD=6， ∴∠AFE=∠EMD， ∵E为AD的中点， ∴AE=DE=3， 在△AEF和△DEM中， ， ∴△AEF和△DEM（AAS）， ∴AF=DM，EF=EM， 又∵EF=CE， ∴EF=CE=EM， ∴∠FCM=90°， ∵CE⊥AD， ∴∠CED=90°， ∴CE=， ∴FM=2CE=8， ∵AB∥CD， ∴∠BFC=∠DCF=90°， 设BF=x，则AF=DM=5-x， ∴CM=10-x， ∵CF2+CM2=FM2， ∴62-x2+（10-x）2=82， ∴x=， ∴BF=， 故选A． 【点睛】本题考查了平行四边形的综合应用， 熟练掌握平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及直角三角形的判定是解题的关键. 2．（2022春·安徽滁州·八年级校考期末）□中，的角平分线交线段于点，，点是中点，连接，过点作，垂足为，设，若□的面积为8，的长为整数，则整数的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．1或3 【答案】C 【分析】根据题意和平行四边形的性质，可以得到和的关系，然后根据□的面积为8，的长为整数，从而可以得到整数的值． 【详解】解：如图所示，延长交于点， ∵四边形是平行四边形，， ∴，， ∴， ∵点是中点， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵□的面积为8，的长为整数， ∴， 即：， ∴整数为0或1或3． 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，，则此时平行四边形的面积不可能是8，故舍去； ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查平行四边形的性质和面积，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定，不定方程等知识．解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 3．（2022春·江西新余·八年级新余四中校考期中）如图，平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，且，延长AB与DE的延长线交于点F．下列结论中：①是等边三角形：②；③：④；⑤其中正确的是（    ） A．①②③ B．①④⑤ C．①②⑤ D．②③④ 【答案】C 【分析】由AB=AE及平行四边形的性质、AE平分∠BAD，可得△ABE是等边三角形，即可判定①正确；由△ABE是等边三角形及平行四边形的性质可得，即可判定②正确；若点E是DF的中点，则可得AD=AF，否则AD与AF不相等，即可判定③错误；由，可对④作出判断；由及前一步的证明可判定⑤． 【详解】∵AB=AE ∴∠ABE=∠AEB ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AD∥BC，AD=BC ∴∠DAE=∠AEB ∵AE平分∠BAD ∴∠DAE=∠BAE ∴∠BAE=∠AEB ∴∠BAE=∠AEB=∠ABE ∴△ABE是等边三角形 故①正确 ∵△ABE是等边三角形 ∴∠ABE=∠BAE=60° ∴ ∠ABE=∠DAE=60° ∵AB=AE，BC=AD ∴   故②正确 若点E是DF的中点，则可得AD=AF，否则AD与AF不相等 故③错误 ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AB∥CD，AD∥BC ∴， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 故④错误 ∵AD∥BC ∴ 由④知， ∴ 即 故⑤正确 即正确的有①②⑤ 故选：C. 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等底等高的两个三角形面积相等，其中平行四边形的性质是解题的关键． 4．（2023春·八年级课时练习）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝8，∠ABC和∠BCD的角平分线分别交AD于点E和F，若BE＝6，则CF＝（　　） A．6 B．8 C．10 D．13 【答案】B 【分析】设BE与FC的交点为H，过点A作AM∥FC，交BE与点O，证得△ABO≌△MBO（ASA），再证明四边形AMCF是平行四边形，，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，设BE与FC的交点为H，过点A作AM∥FC，交BE与点O， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB∥CD， ∴∠AB