第一次月考重难点特训（一）之平行四边形存在性压轴题-2022-2023学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（苏科版）

第一次月考重难点特训（一）之平行四边形存在性压轴题 【重难点题型】 1．（2022春·重庆·八年级重庆一中校考阶段练习）如图1，在平面直角坐标系中，已知直线l1：y＝x﹣3交x轴于点A，交y轴于点B，直线l2：y＝kx+b（k≠0）交x轴于点C（2，0），交y轴于点D（0，1），直线l1和直线l2相交于点E，连接AD． (1)求直线l2的解析式； (2)如图2，若点M是直线l1上任意一点，且在E点的右侧，过点M作MN//y轴，交直线CD于点N，当线段MN＝6时，求△ADM的面积； (3)如图3，将△ACD沿射线BA方向平移个单位，点D的对应点为点F，点G为CD的中点，点P为直线l：x＝﹣上任意一点，在直线l1上确定一点Q，使得以点F，G，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，直接写出所有符合条件的点Q的坐标，并任选一个点的坐标，写出求解过程． 【答案】(1) (2)△ADM的面积为 (3)Q点坐标为（，），（，）或（，） 【分析】（1）待定系数法求解析式即可； （2）设点M（m，），得N（m，），根据MN＝6，列方程＝6，求出m，再根据SADM＝S梯形DORM﹣S△AOD﹣S△ARM求出△ADM的面积； （3）根据题意，求出F点，G点坐标，再设P（﹣，y），Q（n，n﹣3），根据平行四边形的性质对角线互相平分，列方程即可求出Q点坐标． （1） 解：（1）将点C（2，0），D（0，1）代入直线l2：y＝kx+b， 得， 解得， ∴直线l2：． （2） 设点M（m，）， ∵MN//y轴， ∴N（m，）， 根据题意，得MN＝﹣（）＝， ∵MN＝6， ∴＝6， 解得m＝， ∴M（，）， 设MN与x轴交于点R， 当y＝x﹣3＝0时，x＝， ∴A（，0）， 当x＝0时，y＝x﹣3＝﹣3， ∴B（0，﹣3）， ∴OA＝， ∵D（0，1）， ∴OD＝1， ∴，＝， S梯形DORM＝， ∴SADM＝S梯形DORM﹣S△AOD﹣S△ARM＝． （3） ∵G为DC的中点， ∴G（，）， ∵D点沿着射线BA的方向平移个单位得到F， ∴F（）， ∵点P为直线l：x＝﹣上， 设P（﹣，y）， ∵Q在直线l1上， 设Q（n，n﹣3）， 以点F，G，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，存在以下情况： ①以FG，PQ为对角线， 得， 解得n＝， ∴Q（，）， ②以FP，GQ为对角线， 得， 解得n＝， ∴Q（，）， ③以FQ，GP为对角线， 得， 解得n＝， ∴Q（，）． 综上所述，Q点坐标为（，），（，）或（，）． 【点睛】本题考查了一次函数的综合，涉及了三角形面积，平行四边形，平移，中点坐标公式，熟练掌握三角形求面积的方法以及平行四边形的性质是解决本题的关键． 2．（2022春·山东济南·八年级统考期末）如图，□ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AB⊥AC，AB＝3，∠ACB＝30°，点P从点A出发，沿AD以每秒1个单位的速度向终点D运动．连接PO并延长交BC于点Q．设点P的运动时间为t秒． (1)求证：AP＝CQ； (2)当四边形ABQP是平行四边形时，求t的值； (3)在P点运动过程中，当t为何值时，△AOP是等腰三角形．（直接写出答案即可） 【答案】(1)见解析 (2)t=3 (3)t的值为，，时，△AOP是等腰三角形 【分析】（1）根据“ASA”证明，即可得出； （2）先根据含30°的直角三角形的性质，求出BC=6，然后用t表示出AP=CQ=t，BQ=6-t，根据平行四边形的性质，列出关于t的方程，解方程即可； （3）分、、三种情况进行讨论，分别求出AP的长，即可得出t的值． （1）证明：四边形ABCD是平行四边形，∴，，，，∴，． （2）解：∵AB⊥AC，∴∠BAC=90°，∵AB＝3，∠ACB＝30°，∴BC=2AB=6，由题意得：AP=CQ=t，BQ=6-t，四边形ABQP是平行四边形，，，，∴当四边形ABQP是平行四边形时，t的值为3． （3）解：∵∠BAC=90°，AB=3，BC=6，，∵四边形ABCD为平行四边形，∴OA=OC=，，，∴，；①如图1，当时，过P做，∴，，∴，∵，∴，或（舍去），∴此时；②如图2，当时，∵，∴此时；③如图3，当时，过O做，，∴，∴，∴，∴．综上所述，t的值为，，． 【点睛】本题考查四边形的综合应用，涉及全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质及应用，等腰三角形性质及应用等，解题的关键是分类讨论思想的应用． 3．（2022秋·全国·九年级专题练习）已知：绕点顺时针旋转得到，点对应点，点对应点，以为边作等边（，，按顺时针排列），连接，，设． (1)如图1所示，若点，点在两侧，当时， ①请直接写出的度数； ②用适当的方式表述：线段与之间的关系；所在直线与之间的关系； (2)如图2所示，若点在内部，请判