9.4.4 菱形的判定 讲义 2022—2023学年苏科版数学八年级下册

9.4.4 菱形的判定 知识点梳理 知识点一、菱形的判定 菱形的判定方法有三种： 1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形. 2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 3.四条边相等的四边形是菱形. 要点诠释：前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等. 模拟演习 例1. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别相交于点E、F. 求证:四边形AFCE是菱形. 基础练习 1. 如图，要判定▱ABCD是菱形，需要添加的条件是（ ） A. AB=AC B. BC=BD C. AC=BD D. AB= BC 2. 如图，四边形ABCD的两条对角线相交于点O，且互相平分.添加下列条件，仍不能判定四边形ABCD为菱形的是（ ） A. AC⊥BD B. AB=AD C. AC=BD D. ∠ABD=∠CBD 3. 如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点О，请添加一个条件:________，使▱ABCD是菱形.(只填一个即可) 4. 如图，△ABC中，D是AB上一点，DE∥AC交BC于点E，DF∥BC交AC于点F，下列条件:①∠ACB =90°;②CD平分∠ACB;③AC=BC，AD=BD.选择条件________能使四边形DECF是菱形. 5. 已知:如图，在▱ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且BE平分∠ABC，EF∥AB.求证:四边形ABFE是菱形. 6. 如图，在菱形ABCD中，E、F是对角线AC上的两点，且AE=CF. (1)求证:△ABE≌△CDF; (2)求证:四边形BEDF是菱形. 巩固练习 7. 如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E、F分别在线段AD及其延长线上，DE=DF.在下列条件中，使四边形BECF是菱形的是（ ） A. EB⊥EC B. AB⊥AC C. AB=AC D. BF∥CE 8. 用尺规在一个平行四边形内作菱形ABCD，下列作法中错误的是（ ） 9. 如图，在△ABC中，AD、CD分别平分∠BAC和∠ACB，AE∥CD，CE∥AD.若从三个条件:①AB=AC;②AB=BC;③AC=BC中，选择一个作为已知条件，则能使四边形 ADCE为菱形的是________.(填序号) 10. 平面直角坐标系中，点A、B、C、D的坐标分别是A(﹣1，m)、B(﹣4，0)、C(1，0)、D(a，m)，且m>0，若以点A、B、C、D为顶点的四边形是菱形，则点D的坐标为________. 11. 如图，在四边形ABCD中，BC=CD，∠C=2∠BAD.O是四边形ABCD内一点，且OA=OB=OD.求证: (1)∠BOD=∠C; (2)四边形OBCD是菱形. 12. 如图，矩形ABCD中，点E在边CD上，将△BCE沿BE折叠，点C落在AD边上的点F处，过点F作FG∥CD交BE于点G，连接CG. (1)求证:四边形CEFG是菱形; (2)若AB=6，AD=10，求四边形CEFG的面积. 提优练习 13. 如图，已知▱ABCD中，AB=BC，BC=2，∠BCD=60°，两顶点B、D分别在平面直角坐标系的y轴、x轴的正半轴上滑动，连接OA，则OA长的最小值是________. 14. 已知:在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点EF，垂足为O. (1)如图①，连接AF、CE，求证:四边形AFCE为菱形，并求AF的长. (2)如图②，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周，即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止，在运动过程中，点P的速度为每秒1cm，设运动时间为t秒 ①问在运动的过程中，以A、P、C、O四点为顶点的四边形有可能是矩形吗?若有可能，请求出运动时间t和点О的速度;若不可能，请说明理由. ②若点Q的速度为每秒0.8cm，当以A、P、C、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值. 学科网（北京）股份有限公司 $ 1. D 2. C 3. AB=BC（答案不唯一） 解析：若根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，则可以添加AB=BC;若根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，则可以添加AC⊥BD. 4. ②或③ 5. ∵四边形ABCD是平行四边形，AD∥BC.又∵EF∥AB，∴四边形ABFE是平行四边形.∵AE∥BF，∴∠AEB=∠EBF.∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠EBF，∴∠AEB=∠ABE，∴AB=AE，∴四边形ABFE是菱形. 6. (1)∵四边形ABCD是菱形，∴AB=CD，AB∥CD，∴∠BAE=∠DCF.在△ABE和AC