9.4.3 菱形的性质 讲义 2022—2023学年苏科版数学八年级下册

9.4.3 菱形的性质 知识点梳理 知识点一、菱形的定义 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 要点诠释：菱形的定义的两个要素：①是平行四边形.②有一组邻边相等.即菱形是一个平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件. 知识点二、菱形的性质 菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质： 1.菱形的四条边都相等； 2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角. 3.菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中心. 要点诠释：（1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分. （2）菱形的面积有两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底×高；另一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）.实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半. （3）菱形可以用来证明线段相等，角相等，直线平行，垂直及有关计算问题. 模拟演习 例1. 如图，木制活动衣帽架由3个全等的菱形构成，在A、E、F、C、G、H处安装上、下两排挂钩，可以根据需要改变挂钩间的距离，并在B、M处固定．已知菱形ABCD的边长为13cm，要使两排挂钩间的距离AC为24cm，求B、M之间的距离. 基础练习 1. 下列结论中，矩形具有而菱形不一定具有的性质是（ ） A. 内角和为360° B. 对角线互相平分 C. 对角线相等 D. 对角线互相垂直 2. 若菱形的两条对角线的长分别是6和8，则菱形的周长是（ ） A. 24 B. 20 C. 10 D. 5 3. 如图，已知菱形ABCD的周长为24，对角线AC、BD交于点O，且AC＋BD=16，则该菱形的面积等于（ ） A.6 B.8 C.14 D.28 4．如图，在菱形ABCD中，∠BAD=120°.已知△ABC的周长是15，则菱形ABCD的周长是________. 5. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点О，过点A作AH⊥BC于点H，已知BO=4，=24，则AH=________. 6. 数学家笛卡尔在《几何》一书中阐述了坐标几何的思想，主张取代数和几何中最好的东西，互相以长补短.在菱形ABCD中，AB=2，∠DAB=120°.如图，建立平面直角坐标系xOy，使得边AB在x轴正半轴上，点D在y轴正半轴上，则点C的坐标是________. 7. 如图，菱形ABCD的周长为8，对角线BD=2，E、F分别是边AD、CD上的两个动点，且满足AE＋CF=2. (1)求证:△BDE≌△BCF; (2)判断△BEF的形状，并说明理由. 巩固练习 8. 如图，菱形ABCD中，∠B=60°，点P从点B出发，沿折线BC-CD方向移动，移动到点D停止.在△ABP形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是（ ） A. 直角三角形→等边三角形→等腰三角形→直角三角形 B. 直角三角形→等腰三角形→直角三角形→等边三角形 C. 直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形 D. 等腰三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形 9. 如图，在菱形ABCD中，AB的垂直平分线EF交对角线AC于点F，垂足为点E，连接DF ，若∠CDF=24°，则∠DAB等于（ ） A. 100° B. 104° C. 105° D. 110° 11. (1)如图①，在菱形ABCD中，AC=8，BD=6，E是BC边的中点，P、M分别是AC、AB上的动点，连接PE、PM，则PE＋PM的最小值是________. (2) 如图②，已知菱形ABCD的两条对角线分别为6和8，M、N分别是边BC、CD的中点，P是对角线BD上一点，则PM＋PN的最小值是________. 12. 如图，点О是菱形ABCD对角线的交点，CE∥BD，EB∥AC，连接OE交BC于点F. (1)求证:OE=CB; (2)如果OC:OB=1∶2，CD=，求菱形ABCD的面积. 13. 如图，在菱形 ABCD中，AB=2，∠DAB=60，点E是AD的中点，点M是AB边上的一个动点(不与点A重合)，延长ME交CD的延长线于点N，连接MD、AN. (1)求证:四边形AMDN是平行四边形. (2)当AM为何值时，四边形AMDN是矩形?请说明理由. 提优练习 14. 菱形ABCD的周长为8，∠ABC＋∠ADC=90°，以AB为腰，在菱形外作底角是45°的等腰△ABE，连接AC、CE，则△ACE的面积为________. 15. 如图①，在菱形ABCD和菱形BEFG中，∠ABC=∠BEF=60°，点A、B、E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连接PG、PC