9.4.1 矩形的性质 讲义 2022—2023学年苏科版数学八年级下册

9.4.1 矩形的性质 知识点梳理 知识点一、矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 要点诠释：矩形定义的两个要素：①是平行四边形；②有一个角是直角.即矩形首先是一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件. 知识点二、矩形的性质 矩形的性质包括四个方面： 1.矩形具有平行四边形的所有性质； 2.矩形的对角线相等； 3.矩形的四个角都是直角； 4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴. 要点诠释：（1）矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形.过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分. （2）矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）.对称轴的交点就是对角线的交点（即对称中心）. （3）矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，从而矩形的性质可以归结为从三个方面看：从边看，矩形对边平行且相等；从角看，矩形四个角都是直角；从对角线看，矩形的对角线互相平分且相等. 模拟演习 例1. 已知:如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC=2AB. 求证:△AOB是等边三角形． 基础练习 1. 矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（ ） A. 对边相等 B. 对角相等 C. 对角线相等 D. 对角线互相平分 2. 在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，已知∠BOC=120°，DC=3cm，则AC的长为（ ） A. 3 cm B. 4 cm C. 6 cm D. 8 cm 3. 如图所示，在矩形ABCD中，O是BC的中点，∠AOD=90°，若矩形ABCD的周长为30cm，则AB的长为（ ） A. 5cm B. 10cm C. 15cm D. 7.5cm （第3题） （第4题） （第5题） 4.如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE=BD，连接AE，若∠DBC=40°，则∠E=________° 5. 如图，矩形OBCD的顶点C的坐标为(1，3)，连接BD，则BD的长为________ 6. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若∠EAC=2∠CAD，则∠BAE=________° 7. 如图，在矩形ABCD中，点E在边BC上，点F在BC的延长线上，且BE=CF. 求证:(1)△ABE≌△DCF; (2)四边形AEFD是平行四边形. 巩固练习 8. 如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，过对角线交点О作EF⊥AC交AD于点E，交BC于点F，则DE的长是（ ） A. 1 B. C. 2 D. （第8题） （第9题） 9. 如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AB=6，BC=8，过点О作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点B落在AD边上的点G处，点C落在点H处，已知∠DGH = 30°，连接BG，则∠AGB=________°. 11. 如图，将矩形纸片ABCD沿直线EF折叠，使点C落在AD边的中点C'处，点B落在点B'处，其中AB=9，BC=6，则FC'的长为________. （第11题） （第12题） 12. 如图，四边形OABC为矩形，点A、C分别在x轴和y轴上，连接AC，点B的坐标为(4，3)，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC、AO于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点Q，作射线AQ交y轴于点D，则点D的坐标为________. 13. 如图，△OAD为等腰直角三角形，延长OA至点B使OB=OD，ABCD是矩形，其对角线AC、BD交于点E，连接OE交AD于点F. (1)求证:△OAF≌△DAB; (2)求的值. 14．如图，四边形ABCD是矩形，∠EDC=∠CAB，∠DEC=90°. (1)求证:AC∥DE; (2)过点B作BF⊥AC于点F，连接EF，试判断四边形BCEF的形状，并说明理由. 提优练习 15. 如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=3，动点P满足，则点Р到A、B两点距离之和PA+PB的最小值为________. 16. 某研究性学习小组在探究矩形的折纸问题时，将一块直角三角板的直角顶点绕着矩形ABCD(AB<BC)的对角线交点О旋转(如图①→②→3)，图中M、N分别为直角三角板的