专题3.3 圆与函数的综合（压轴题专项讲练）-2022-2023学年九年级数学下册压轴题专项讲练系列（北师大版）

专题3.3 圆与函数的综合 【典例1】如图，在平面直角坐标系中，以为圆心的圆与轴相切于点，与轴相交于、两点，且． （1）求经过、、三点的抛物线的解析式； （2）设抛物线的顶点为，证明直线与相切； （3）在轴下方的抛物线上，是否存在一点，使面积最大，最大值是多少，并求出点坐标． 【思路点拨】 （1）连接，由轴是的切线，可得轴，过点作于点，根据垂径定理可得，连接，在中可求出，即圆的半径，然后利用矩形的判定证明四边形是矩形，得到，，，从而得到、、三点的坐标，再利用待定系数法即可确定经过点、、三点的抛物线的解析式； （2）因为点为圆心，点在圆周上，，利用勾股定理的逆定理证明即可； （3）设存在点，过点作轴，交于点，求出直线的解析式，设点的坐标，则可得点的坐标为，从而根据，表示出的面积，利用配方法可确定最大值，继而可得出点的坐标． 【解题过程】 （1）解：如图，连接，，过点作于点， ∴， ∵以为圆心的圆与轴相切于点，且，， ∴轴，，， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴，，， 设经过点、、三点的抛物线解析式为：， 将点、、三点的坐标代入可得： ， 解得：， ∴经过、、三点的抛物线的解析式为：． （2）证明：∵点为圆心，点在圆周上， 由（1）知，， 抛物线解析式为：，且顶点的坐标为， 又∵， ∴，， ∵， ∴， ∴直线与相切． （3）解：存在点，使面积最大， 如图，过点作轴，交于点， ∵，， 设直线的解析式为：， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为：， 设点的坐标为， ∵轴，交于点， ∴点的坐标为， ∴， ∴ ， 当时，最大，最大值为，此时． 1．（2022春·江苏·九年级期末）如图，在直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx－2与x轴交于点A(－3,0)、B(1,0)，与y轴交于点C． （1）求抛物线的函数表达式． （2）在抛物线上是否存在点D，使得△ABD的面积等于△ABC的面积的倍？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． （3）若点E是以点C为圆心且1为半径的圆上的动点，点F是AE的中点，请直接写出线段OF的最大值和最小值． 2．（2022秋·全国·九年级专题练习）定义：平面直角坐标系xOy中，过二次函数图像与坐标轴交点的圆，称为该二次函数的坐标圆． （1）已知点P（2，2），以P为圆心，为半径作圆．请判断⊙P是不是二次函数y＝x2﹣4x+3的坐标圆，并说明理由； （2）已知二次函数y＝x2﹣4x+4图像的顶点为A，坐标圆的圆心为P，如图1，求△POA周长的最小值； （3）已知二次函数y＝ax2﹣4x+4（0＜a＜1）图像交x轴于点A，B，交y轴于点C，与坐标圆的第四个交点为D，连接PC，PD，如图2．若∠CPD＝120°，求a的值． 3．（2022秋·全国·九年级专题练习）已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）经过A（3，0）、B（4，1）两点，且与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，设抛物线与x轴的另一个交点为D，在抛物线上是否存在点P，使△PAB的面积是△BDA面积的2倍？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． （3）如图（2），连接AC，E为线段AC上任意一点（不与A、C重合），经过A、E、O三点的圆交直线AB于点F，当△OEF的面积取得最小值时，求面积的最小值及E点坐标． 4．（2022春·湖南长沙·九年级校联考期中）如图1，抛物线与x轴交于O、A两点，点B为抛物线的顶点，连接OB． （1）求∠AOB的度数； （2）如图2，以点A为圆心，4为半径作⊙A，点M在⊙A上．连接OM、BM， ①当△OBM是以OB为底的等腰三角形时，求点M的坐标； ②如图3，取OM的中点N，连接BN，当点M在⊙A上运动时，求线段BN长度的取值范围． 5．（2022春·九年级课时练习）在平面直角坐标系xOy中，直线（）分别与x轴、y轴相交于A、B两点．⊙G经过A、B、O三点，C为⊙G在直线上方的弧上的一个动点． （1）求⊙G的半径长（用含m的式子表示）； （2）已知弧AC、弧BC的中点分别为点P、Q，连接OP，OQ．问：∠POQ的度数是否为定值？如果是，请求出它的度数；如果不是，请说明理由； （3）在（2）条件下，连接AC，BC，OP分别交AB、AC于M、E点，OQ分别交AB、BC于N、F．连接EF．对于每一个确定的m的值，都有一个点C，使得S△ACB取最大值，对于此时的C，记以AM、MN、BN为三边的三角形的外接圆面积为S1，△CEF外接圆的面积为S2，求的最小值． 6．（2022秋·全国·九年级专题练习）如图，已知抛物线的对称轴为直线：，且与轴交于点，与轴交于点 ． （1）求抛物线的解析式； （2）试探究在此抛物线的对称轴上是否存在一点，使的值最小？若存在，求的最小值，若不存在，请说明理由； （3）以