专题3.2 圆与四边形的综合（压轴题专项讲练）-2022-2023学年九年级数学下册压轴题专项讲练系列（北师大版）

专题3.2 圆与四边形的综合 【典例1】如图，在四边形中，，，，对角线平分．点P是边上一动点，它从点B出发，向点A移动，移动速度为；点Q是上一动点，它从点A出发，向点C移动，移动速度为．设点P，Q同时出发，移动时间为，一点到达，另一点也停止运动．连接，以为直径作． （1）边________、_________； （2）求当t为何值时，与相切？ （3）求当t为何值时，线段被截得的线段长恰好等于的半径？ （4）当______s时，圆心O到直线的距离最短，最短距离为________． 【思路点拨】 （1）过点D作于M，用矩形性质和锐角三角函数求解即可； （2）当与相切时，有，由锐角三角形函数求解即可； （3）设与AC交于另一点M，则分M在Q上方和M在Q下方两种情况，求解即可； （4）过点O作，垂足为H，延长OH交AB于K，过点Q作于R，由矩形性质和三角形中位线定理以及锐角三角函数可得：，利用函数增减性即可求解． 【解题过程】 （1）解：过点D作于M， ，， ， ∵则四边形DMBC为矩形，， ， ，对角线平分， ， 在中， ， ， ， 在中， ， ， ， ， ， ，， 故答案为： ， ； （2）如图，当与相切时， ， 由题意得： ， ， ， ， ， 即： ， 解得 ， ∴当时，与相切； （3）如图：设与AC交于另一点M，则分M在Q上方和M在Q下方两种情况： ①连接MO ，MP， 由题意得： ，则三角形QMO为等边三角形， ， ， 又， ， ， ∵PQ是直径， ， ， ， 在中， ， ， 解得：；   ②连接MO ，MP， 由题意得： ，则三角形QMO为等边三角形， ， 又， ， 在中， ， ， 解得： ；   综上所述：或者时，线段被截得的线段长恰好等于的半径； （4）如图：过点O作，垂足为H，延长OH交AB于K，过点Q作于R， ，， ， 则四边形HKBC为矩形， ， 在中， ， ， ， ∵ ，PR为的弦， ， 又 ， ， ， ，， 时， 取最小值，最小值为： ， 即：当 ，圆心O到直线的距离最短，且为：（cm）． 故答案为：6，． 1．（2023·广东佛山·校考一模）如图，菱形中，，以为直径作，交于点E，过点E作于点F． （1）求证：是的切线； （2）连接，若，求的长． （3）在（2）的条件下，若点G是上的一个动点，则线段CG的取值范围是什么？ 2．（2023秋·江苏泰州·九年级泰州市第二中学附属初中校考期末）如图1，中，为上一点，平分，以为圆心，为半径的圆，与相切于点 （1）求证：与相切 （2）如图2，若与相切于点，，，且，求弧、线段和组成的图形面积． 3．（2022·内蒙古包头·包头市第二十九中学校考三模）如图，在菱形ABCD中，O是对角线BD上一点（），，垂足为E，以OE为半径的分别交DC于点H，交EO的延长线于点F，EF与DC交于点G． （1）求证：BC是的切线； （2）若G是OF的中点，，． ①求HE的长； ②求AD的长． 4．（2022·全国·九年级专题练习）如图，四边形是⊙的内接矩形，过点的切线与的延长线交于点，连接与交于点，，． （1）求证：； （2）设，求的面积（用的式子表示）； （3）若，求的长． 5．（2022·陕西西安·西安市西光中学校考二模）[问题探究] （1）如图1，四边形ABCD内接于⊙O，已知AB＝AD，∠BAD＝60°，若AC＝6，求四边形ABCD的面积； [问题解决] （2）如图2，⊙O为某公园的一块绿地，A、B、D为绿地边缘（圆周上）的三个喷水池（喷水池的大小忽略不计），经测得米，∠BAD＝60°，现欲在劣弧上找一点C，将四边形ABCD修建为一块花地，并将四边形ABCD的四条边AB、BC、CD、AD修建成观赏小径（观赏小径的宽度忽略不计），要求四条观赏小径的长度之和与花地的面积都尽可能大，问是否能修建出满足要求的花地？若能，求出观赏小径的总长度和花地的面积；若不能，请说明理由． 6．（2022春·浙江宁波·九年级统考阶段练习）一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等邻边互补四边形． （1）如图1，在等邻边互补四边形中，，且，，则______． （2）如图2，在等邻边互补四边形中，，且，求证：． （3）如图3，四边形内接于⊙O，连接并延长分别交AC，BC于点E，F，交⊙O于点，若点是的中点，，，，求的长． 7．（2022·河北唐山·统考二模）如图，在矩形ABCD中，AD＝4，∠BAC＝30°，点O为对角线AC上的动点（不与A、C重合），以点O为圆心在AC下方作半径为2的半圆O，交AC于点E、F． （1）直接写出AC的长 ； （2）当半圆O过点A时，求半圆被AB边所截得的弓形的面积； （3）若M为的中点，在半圆O移动的过程中，求BM的