专题提优05 与正方形相关的基本模型-2022-2023学年八年级数学下册专题提优及章节测试卷（苏科版）

专题提优5 与正方形相关的基本模型（原卷版） 类型一 捕捉或构造三垂直模型 1．如图，正方形EFGH的顶点在边长为2的正方形ABCD的边上，若设AE＝x，正方形EFGH的面积为y． （1）求y关于x的函数表达式； （2）正方形EFGH有没有最小面积？若有，试确定E点的位置；若没有，试说明理由． 2．（2022•泉山区三模）如图，在正方形ABCD中，AD＝5，点E、F是正方形ABCD内的两点，且AE＝FC＝3，BE＝DF＝4，求EF的长． 类型二 捕捉手拉手模型（旋转全等） 3．（2021•酒泉一模）如图，在正方形ABCD中，点E是BC上一点，点F是CD延长线上的一点，且BE＝DF，连接AE、AF、EF． （1）求证：AE＝AF； （2）已知∠AEB＝75°，若点P是EF的中点，连接CP，DP，求∠CPD的度数． 4．（2021春•泰安期中）探究：如图，分别以△ABC的两边AB和AC为边向外作正方形ANMB和正方形ACDE，NC、BE交于点P． 求证：∠ANC＝∠ABE． 应用：①Q是线段BC的中点，若BC＝6，则PQ的长度是多少？ ②若AB，BC＝6．∠ABC＝45°，求BE的长度是多少？ 类型三 利用正方形既有轴对称又有中心对称性质 5．（2019春•绿园区期末）如图，菱形ABCD的面积为120平方厘米，正方形AECF的面积为50平方厘米，则菱形ABCD的边长为　 　厘米． 6．（2022春•封开县期末）如图，四边形ABCD是正方形，E，F是对角线AC上的两点，且AE＝CF． （1）求证：△ADE≌△CBF； （2）求证：四边形BEDF是菱形； （3）若AC＝8，AE＝2，求四边形BEDF的周长． 类型四 其他 7．（黔东南州2•中考）如图，正方形ABCD中，E为AB中点，FE⊥AB，AF＝2AE，FC交BD于O，则∠DOC的度数为（　　） A．60° B．67.5° C．75° D．54° 8．（2021春•烟台期末）正方形ABCD的边长为4，AB上有一动点E，以EC为边作矩形ECFG，且边FG过点D．在点E从点A移动到点B的过程中，矩形ECFG的面积的最大值与最小值的和为 　 　． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题提优5 与正方形相关的基本模型（解析版） 类型一 捕捉或构造三垂直模型 1．如图，正方形EFGH的顶点在边长为2的正方形ABCD的边上，若设AE＝x，正方形EFGH的面积为y． （1）求y关于x的函数表达式； （2）正方形EFGH有没有最小面积？若有，试确定E点的位置；若没有，试说明理由． 思路引领：证明△AEH≌△BFE（AAS），则BF＝AE＝x，利用勾股定理得出y与x的函数关系，进而求解． 解：（1）∵四边形ABCD为正方形，四边形EFGH也是正方形， ∴∠A＝∠B＝∠HEF＝90°，EH＝FE， ∴∠AEH+∠AHE＝90°，∠AEH+∠BEF＝90°， ∴∠AHE＝∠BEF， 在△AEH和△BFE中， ∠A＝∠B，∠AHE＝∠BFE，EH＝FE， ∴△AEH≌△BFE（AAS）， ∴BF＝AE＝x，BE＝2﹣x， 在Rt△BFE中， EF2＝BF2+BE2＝x2+（2﹣x）2， ∴y＝EF2＝x2+（2﹣x）2＝2x2﹣4x+4（0＜x＜2）； （2）∵y＝2x2﹣4x+4＝ x2（x﹣1）2＋2， ∴当x1时，y取得最小值2，此时E为AB中点； 故正方形EFGH有最小面积，此时E点为AB的中点． 总结提升：此题主要考查了正方形的性质和配方法的应用，正确表示出BE的长是解题关键． 2．（2022•泉山区三模）如图，在正方形ABCD中，AD＝5，点E、F是正方形ABCD内的两点，且AE＝FC＝3，BE＝DF＝4，求EF的长． 思路引领：延长AE交DF于G，再根据全等三角形的判定得出△AGD与△ABE全等，得出AG＝BE＝4，由AE＝3，得出EG＝1，同理得出GF＝1，再根据勾股定理得出EF的长． 解：延长AE交DF于G，如图： ∵AB＝5，AE＝3，BE＝4， ∴△ABE是直角三角形， ∴同理可得△DFC是直角三角形， ∵△ABE≌△CDF， ∴∠BAE＝∠DCF， ∵∠FCD+∠CDF＝90°， ∴∠BAE+∠CDF＝90°， ∵∠BAD＝∠ADC＝90°， ∴∠DAG+∠ADG＝90°， 可得△AGD是直角三角形， ∴∠ABE+∠BAE＝∠DAE+∠BAE， ∴∠GAD＝∠EBA， 同理可得：∠ADG＝∠BAE， 在△AGD和△BAE中， ， ∴△AGD≌△BAE（ASA）， ∴AG＝BE＝4，DG＝AE＝3， ∴EG＝4﹣3＝1， 同理可得：GF＝1， ∴EF， 总结提升：此题考查正方形的性质，关键是根据全等三角形的判定和性质得出EG＝F