第五章  相交线与平行线-【数学文化趣读】2022-2023七年级下册数学读本

2 植树问题 薛尔维斯特 薛尔维斯特(Sylvester,1814—1897),英国数学 家。他生于伦敦,就学于英国剑桥大学。青年时代因 智力超群,曾获剑桥大学数学荣誉会考的一等奖第 二名。 1821年,约翰·杰克逊在一本名为《冬天傍晚的 推理娱乐》的书中写道: 要栽9棵树,横竖满10行,每行需3棵,有何千 金方? 这是一道关于植树的智力问题,它的答案乍一想似乎不可能。但你若再 动动脑筋便会发现下面的结果(图5-1中的黑点代表树)。请注意:这里允许 某些树同在几行上。 图5-1 薛尔维斯特是在一次旅途中见到这个问题的。他没有满足于问题的解 决,而是在考虑这个问题的延伸: 3棵树、4棵树、5棵树……如果每行栽3棵,最多可栽多少行? 远处是一望无垠的大海,耳边只有海浪拍打船体的声响,他陷入了沉 思……对于某些特殊的情形,他一一给出了解答(如图5-2所示)。 3 图5-2 大家想一想,栽10棵树可栽多少行呢? 11棵树呢? 平行线及其符号的历史 (一)平行线的判定的历史渊源 平行线的判定是从实验几何向论证几何过渡的重要内容。人们对平行 线及其判定的认识与几何学的发展密切相关,也有实验和论证两个维度。 在西方,geometry一词含有测地术的意思。在中国,几何一词也多少含 有一些测地术的意思,所以我国明末科学家徐光启(1562—1633)将geo-me- try翻译成几何学(当然也有geo与几何发音相近的原因)。这其实反映了最 初几何学知识来源于人类的生产和生活实践的事实。古代人们在与大自然 相处的过程中,逐步认识了各种几何形体,形成了各种刻画平行的方式。清 朝康熙时期梅瑴成主编的《御制数理精蕴》(简称《数理精蕴》)是一部包括了 西方数学知识在内的数学百科全书,其中有这样的描述:凡二线之间宽狭相 离之分俱等,则此二线谓之并行线也。翻译成现代文就是:如果两直线之间 的距离处处相等,那么这两条直线平行。与《墨经》中一样,这里也用“距离处 处相等”刻画平行。但是,以实践为主所获得的几何知识基本是碎片化的,缺 乏理论的系统性。 古希腊具有早慧、早熟的数学文明。古埃及的几何知识传入古希腊后, 4 随着古希腊手工业、商业和造船业的发展,古希腊人逐渐感到那些碎片化、经 验性的几何知识不够用了,需要系统性、理论化的几何知识来解决各种实际 问题,以及满足强烈的好奇心理。在这种情况下,古希腊数学家欧几里得 (Euclid,约前330—前275)创造了公理化方法,以论证的方式把当时西方所 知道的几何知识加以整理,写成了《几何原本》,成为后世几何理论的范本。 《几何原本》共13卷,其中的几何知识都是以第1卷中的5个公理和5个公设 为基础的。其中的“第五公设”也被称作“平行公理”,即“一条直线与另外两 条直线相交,若某一侧的两个内角和小于两直角之和,则这两条直线不断延 长后在这一侧相交”。这说明了,由角的关系可以得到平行的位置关系,即可 以用角的关系来刻画平行。 从《几何原本》中可以看出,欧几里得对于直接承认“平行公理”似乎也不 太满意,总是竭力避免或推迟应用它,但是最后还是不可避免地用到了它。 不然平行线的理论就无法建立,几何学中的一系列论断,也就缺乏理论基础。 在欧几里得以后,许多数学家对“平行公理”仍然抱着怀疑的态度,总是企图 从其他更明显的论断出发来推导它,但是最后都以失败告终。 18世纪,苏格兰数学家、物理学家普莱菲尔(J.Playfair,1748—1819)发现 了与“平行公理”等价、比“平行公理”通俗易懂的结论,即“过直线外一点有且 只有一条直线与已知直线平行”,并把它作为替代公理,得到了广泛的认同。 直到19世纪,德国数学家高斯(C.F.Gauss,1777—1855)、俄国数学家罗巴切 夫斯基、匈牙利数学家亚诺什·鲍耶才发现了“平行公理”是不可证明的,并 且不约而同地用其他公理来代替“平行公理”,从而创造出非欧几何学。 (二)平行线符号的演变过程 符号化是数学发展的重要基础,先进符号的采用是不可抗拒的历史选 择,在很大程度上决定着数学的发展。古希腊数学家海伦(Heron,约1世纪) 最早创用“OV”或“P”作为表示两条直线平行的符号。古希腊数学家帕普斯 看到海伦创用的平行线符号后,感觉不是特别满意,就将“OV”或“P”中的字 母去掉,改用“=”来表示平行(有时也用“OL”来表示)。显然,平行线的符号 5 “=”是仿照两条直线平行的形象来创造的。可惜的是,这个符号没有被世人 普遍认可。虽然17世纪一些法国数学家仍然用“=”表示平行,但是当时等号 “=”已经被世人普遍接受,若再用它表示平行,会使数学符号出现混乱现象。 1657年,英国数学家奥特雷德(W.Oughred,1574—1660)在《三角形》一书中 首次将横躺着的“=”直立