第七章  平面直角坐标系-【数学文化趣读】2022-2023七年级下册数学读本

34 寻找“珍宝岛” 在珍宝岛上有一个山洞,船长弗林特在山洞里藏了自己的珍宝,珍宝被 藏在山洞的入口处,只有老海盗班刚才能找到它。班刚在死之前决定留给子 孙一封数字信,说明进入山洞的路径和他藏宝的地方。 由于老海盗接受了当时较好的教育,他决定采用坐标方法。他取了珍宝 岛的地图,在其上面画了坐标轴,选定了单位。总之,做了一切应该做的(如 下图所示)。作为主要定向标记,他指出4棵橡树的坐标是:(3,5),(-2,7), (-3,4),(3,1)。 宝藏位于连接第一棵与第三棵橡树的直线和连接第二棵与第四棵橡树 的直线的交点上,你能找到宝藏的具体位置吗? 平面直角坐标系的历史 平面直角坐标系的历史可以归结为三个阶段。 35 第一个阶段是单轴的建立。费马(P.de.Fermat,1601—1665)和笛卡儿(R. descartes,1596—1650)通过坐标系建立了二元代数方程与几何曲线之间的关 系。费马研究的侧重点是方程的曲线,笛卡儿研究的侧重点是曲线的方程,这 两者分别是解析几何的两个基本方面。费马和笛卡儿都只用了横轴,未使用纵 轴,而且所使用的纵坐标是斜的,横坐标和纵坐标都局限于正数范围。 第二个阶段是负坐标的引入。1655年,英国数学家沃利斯(J.Walis, 1616—1703)对坐标系作了进一步的探索,有意识地引进了负的横、纵坐标。 这使得解析几何所考虑的曲线范围扩展到了整个平面。 第三个阶段是平面直角坐标系的建立。这经过了几何学家在长期使用 中不断演变,使之更加方便、合理的过程。几何学家还在此基础上定义了“坐 标”“横坐标”“纵坐标”等相关术语。 蜘蛛的启示———笛卡尔建立直角坐标系 笛卡尔 笛卡尔,法国数学家。他创建了解析几何, 解析几何的创立是数学史上一次划时代的转折。 而平面直角坐标系的建立正是解析几何得以创 立的基础。直角坐标系的创建,在代数和几何上 架起了一座桥梁,它使几何概念与几何图形可以 用代数形式来表示,于是代数和几何就这样合为 一家了。 有一天,笛卡尔生病卧床,但他头脑一直没有休息,而在反复思考一个问 题:几何图形是直观的,而代数方程则比较抽象,能不能用几何图形来表示方 程呢? 这里,关键是如何把组成几何的图形的点和满足方程的每一组“数”挂 上钩。他就拼命琢磨,通过什么样的办法,才能把“点”和“数”联系起来。突 然,他看见屋顶角上的一只蜘蛛,拉着丝垂了下来,一会儿,蜘蛛又顺着丝爬 上去,在上边左右拉丝。蜘蛛的“表演”,使笛卡尔豁然开朗。他想,可以把蜘 蛛看作一个点,它在屋子里可以上、下、左、右运动,能不能把蜘蛛的每个位置 用一组数确定下来呢? 他又想,屋子里相邻的两面墙与地面相交出了三条 线,如果把地面上的墙角作为起点,把相交出来的三条线作为三根数轴,那么 36 空间中任意一点的位置,不是都可以用这三根数轴上找到的有顺序的三个数 来表示吗? 反过来,任意给一组三个有顺序的数,例如3,2,1,也可以用空间 中的一个点P 来表示它们。同样,用一组数(a,b)可以表示平面上的一个点, 平面上的一个点也可以用两个有顺序的数来表示。于是在蜘蛛的启示下,笛 卡尔创建了直角坐标系。 无论这个传说的可靠性如何,有一点是可以肯定的,就是笛卡尔是一位 勤于思考的人。这个有趣的传说,就像瓦特看到蒸汽冲起开水壶盖从而发明 了蒸汽机一样,说明笛卡尔在创建直角坐标系的过程中,很可能是受到周围 一些事物的启发,触发了灵感。 笛卡尔在创建直角坐标系的基础上,创造了用代数方法来研究几何图形 的数学分支———解析几何。他的设想是:只要把几何图形看成是动点的运动 轨迹,就可以把几何图形看成是由具有某种共同特性的点组成的。比如,我 们把圆看成是一个动点对定点O 作等距离运动的轨迹,也就可以把圆看作是 由无数到定点O 的距离相等的点组成的。我们把点看作是组成图形的基本 元素,把数看成是组成方程的基本元素,只要把点和数挂上钩,也就可以把几 何和代数挂上钩。把图形看成点的运动轨迹,这个想法很重要! 它从指导思 想上,改变了传统的几何方法。笛卡尔根据自己的这个想法,在《几何学》中, 最早为运动着的点建立坐标,开创了几何和代数挂钩的解析几何。在解析几 何中,动点的坐标就成了变数,这是数学第一次引进变数。恩格斯高度评价 笛卡尔的工作,他说:“数学中的转折点是笛卡尔的变数。有了变数,运动进 入了数学,有了变数,辩证法进入了数学。” 坐标方法在日常生活中用得很多。例如象棋、国际象棋中棋子的定位; 电影院、剧院、体育馆的看台、火车车厢的座位及高层建筑的房间编号等都用 到坐标的概念。 费马大定理 居住在埃及的希腊数学家丢番图(约210—约290)在其系列著作《算术》 中,阐述了与毕达哥拉斯定理相似的方程式。皮埃尔·德·费马是一位法国 律师,他喜欢在业