第六章  实数-【数学文化趣读】2022-2023七年级下册数学读本

17 古希腊著名的科学家亚里士多德是最先研究自由落体运动的, 他提出: 物体下落的快慢是由物体本身的重量决定的,物体越重,下落得越快;反之, 则下落得越慢。亚里士多德的理论影响了其后两千多年的人,直到物理学家 伽利略提出了与之不同的观点。 伽利略为了证明物体在进行自由落体运动时,其速度与物体的重量没有 关系这个观点,在意大利古城比萨斜塔(地面到塔顶高54.45 m)上进行了一 次落体实验。他让两个大小不一的铁球(其中 一 个 重45 kg,另 一 个 重 0.4 kg)在同一高度同时下落,结果两球同时着地。 比萨斜塔 已知物体自由下落的高度h(单位:m)与下落时间t(单位:s)的关系是 h=4.9t2。你能算出当时两个铁球到达地面所需要的时间吗? 18 实数家族史 爱动脑筋的小明,晚上写完了作业,脑子里仍旧继续琢磨着数学问题,不 知不觉进入了甜蜜的梦乡。睡梦中他看到一条又直又长的横线,向两方向无 限地延伸。接着来了一位学者模样的古人,身后跟着0、1为首的,0举着整数 的大旗的大军。古学者带整数部队来到直线旁,对整数们说:“你们当中0的 本领最大,它既可以表示没有,也可以使数变大或变小,特别是0还是正整数 队伍和负整数队伍的分界数。所以我决定由0当你们的首领,请0站在正整 数和负整数中间。”正整数和负整数齐声欢呼:“请0首领就位。”于是0站在了 直线上的某一个指定位置,叫做原点O。然后1,2,3,…;-1,-2,-3,…分 别站在原点的右侧、左侧各自指定的位置上。古学者规定取直线向右的方向 为正方向,而且规定整数们在直线上的位置顺序不能乱动。最后,古学者告 诫整数们:“你们现在各站其位,应该安居乐业了,望多为人类的发展进步做 贡献。”话音刚落,古人像影子一样消失了。古人刚走,就又来了一位比较进 步的学者,这位学者的身后跟着:1 2 ,1 3 ,2 3 ,…;- 1 2 ,- 1 3 ,- 2 3 ,…,1 2 和- 1 2 分 别代表正分数和负分数,各举分数队伍的大旗,来到已经站上整数的直线(数 轴)旁。学者告诉分数们:“这里的0是你们的首领,它和整数早就欢迎你们的 到来了。数轴上有每个分数的指定位置,请大家归位。”分数们迅速找准了自 己的位置。 学者对数轴上的整数和分数说:“所有的整数和分数构成有理数队伍,就 是说,整数和分数统称为有理数。你们的特点有两个,一个是都可以化为分 数,只是整数化为了分母为1的分数;另一个特点是你们可以化为有限小数或 19 无限循环小数。希望你们听从0的领导,不要篡位。”说完学者也不见了。 接着一个长胡子、黄头发的数学家,又领来了无理数队伍。有 2,3, 5,…,π,还有0.101 001 000 1…,另外紧跟着的还有- 2,- 3,- 5,…, -π,-0.101 001 000 1…,2和- 2分别代表正无理数和负无理数,各举着 无理数大旗。数学家带领的无理数队伍刚来到数轴旁,有理数们就开始大吵 大闹起来,说数轴上已经很挤了,反对无理数进来。数学家和气地解释说: “有理数朋友们不要着急,你们和无理数本是一个大家庭,各有其位。在数轴 上有每一个无理数的位置,每一个无理数绝不会抢占任何一个有理数的位 置。首先请大家都安静下来,我具体安排几个无理数在数轴上,来证明数轴 上的确有每个无理数的唯一确定的位置。”说完,数学家便拿出直尺和圆规作 图(尺规作图,寻找表示 2,3的位置)。 数学家亲自动手找到了 2,3,…,- 2,- 3,…的位置,最后明确声 明,数轴上有每一个无理数的位置,请所有的无理数各就各位。有理数们也 热烈欢迎无理数归位。这时,数学家庄严地宣布:“到目前为止,数轴上没有 空位了。有理数和无理数合起来,把数轴占满了。你们是实数家族。每一个 实数都有数轴上唯一确定的点与之对应,反之数轴上的每个点,都有唯一确 定的实数与之对应。这就是说,实数与数轴上的点一一对应。不过作为实数 家族的成员,有理数和无理数还是有很大区别的,主要表现为无理数为无限 不循环小数,而有理数则为有限小数或无限循环小数。另外,你们的大小关 系是正数大于0,0大于负数。正数大于一切负数,两个正数绝对值大的则大, 两个负数绝对值大的反而小。请注意你们之间的区别和联系,密切合作,努 力为人类贡献力量吧!”随后数学家也无影无踪了。 小明的怪梦,被妈妈的叫声打断了。不过梦中所说不无道理,通过这个 梦,他了解了数的发展过程和实数与数轴的一一对应关系,收获很大。 20 无理数的由来 在古希腊,研究几何是一种时尚,许多有学问的人都研究几何。毕达哥 拉斯就是一位在几何学上表现出色的大数学家。不过,毕达哥拉斯并不是真 理的化身,他也犯过不小的错。 当时,毕达哥拉斯手下有许多门徒,他们都