第九章  不等式与不等式组-【数学文化趣读】2022-2023七年级下册数学读本

58 某电视台播出猜商品价格的节目。 主持人:这个电热水壶的价格不高于100元,请您猜出价格。 参赛者:80元。 主持人:高了! 参赛者:60元。 主持人:低了! 你认为这个电热水壶的价格在什么范围内? 一元一次不等式的故事 有一天,小明去姥姥家,看见4个大汉在一家小工厂的门口连叫带喊,吵 得不可开交。小明好奇,站在旁边看他们究竟为什么争吵。突然,一个黑大 汉拉住小明的手,对其他3个汉子说:“咱们到底谁干得最多,谁干得最少,让 这个小孩来评评理!” “评评理就评评理!”3个大汉同意了。 小明有点儿“丈二和尚———摸不着头脑”,便问:“你们贵姓? 干什么的? 59 为什么争吵?” 黑大汉说:“我们4个人依次姓赵、钱、孙、李,同在这家小工厂里干活儿。 厂长刚才说,赵比钱干得多;李和孙干活的数量之和,与赵和钱干活的数量之 和一样多。可是,孙和钱干活的数量之和,比赵和李干活的数量之和要多。 我们4个人都说自己干得多,你给我们排个一、二、三、四吧!” 小明用手抓了抓脑袋说:“这么乱,我从哪儿下手给你们解决呀?” 4个大汉一起央求说:“我们4个文化水平都不高,你帮我们算清楚这笔 账吧! 不然,我们非动手打起来不可!” 小明点了点头说:“好吧,我想了一下,你们这个问题有3个条件,我一个 条件一个条件地给你们算吧!” “那可太好了,你帮了我们大忙了。”4个大汉都表示感谢。 小明蹲在地上写了3行大字: 赵>钱(1) 李+孙=赵+钱(2) 孙+钱>赵+李(3) 小明问:“你们看我写得对不对?” 4个大汉认真看了两遍,说:“对,对,就是这么回事! 可是接着怎么 办呢?” “用(3)式减去(2)式就成啦!”小明又写道: 孙+钱-(李+孙)>赵+李-(赵+钱)。 展开括号,得: 孙+钱-李-孙>赵+李-赵-钱, 钱-李>李-钱, 移项,得2钱>2李, 不等式两边同被2除,得钱>李。 小明说:“这就算出来钱比李干得多,可以排出:赵>钱>李。你们3个人 中赵叔叔干得多。” 60 姓孙的急忙凑过来问:“我呢? 怎么把我给忘了?” “你别着急啊!”小明说,“把(2)式变变形,有:钱-李=孙-赵, 因为钱-李>0, 所以孙-赵>0, 即孙>赵。” 小明郑重地宣布:“你们4个人干活的多少,我已经算出来啦! 孙叔叔第 1,赵叔叔第2,钱叔叔第3,李叔叔最末。” 4个大汉都很高兴,一再感谢小明的帮助。小明刚想走,厂长跑出来一把 拉住了他。 厂长说:“我这儿有几个生产中的问题解决不了,请你帮忙给解决一下。” 小明双手一摊说:“你要说具体生产过程,我可是一窍不通啊!” “你只要会算就成!”厂长从口袋里掏出一个小本子念道,“我厂原定计划 一年生产新型炉子1 000台,但我们改进了工艺,准备提前完成任务。但头3 个月,由于工人不熟悉新工艺,只生产出100台炉子,以后我们平均每月至少 要生产多少台炉子才行?” “我来算算。设以后每个月生产x 台炉子,一年有12个月,可以列出一 个不等式(12-3)x>1 000-100。” 厂长问:“这里为什么要用大于号?” 小明说:“不是要提前完成任务吗? 后9个月你要都生产这种炉子,其总 数必须大于计划数才能提前啊!” “对,对。”厂长连连点头。 小明接着解这个不等式:9x>900,x>100。 “以后平均每个月生产炉子数必须多于100台。”小明说,“还有什么 问题?” “有,有。车工小组原计划30天生产炉子零件165个。他们前8天共生 产出44个,后来计划至少提前5天完成任务。他们从第9天开始,每天至少 要生产多少个零件才行?” 61 “设从第9天开始,平均每天生产x 个零件。可以列出一个不等式: (30-8-5)x≥165-44,17x≥121,x≥7 2 17 。 从第9天开始,平均每天至少要生产8个零件。” “我要看姥姥去了,再晚了就去不成了。”小明说完,撒腿就跑了。 基本不等式的历史背景及几何意义 早在公元前6世纪,毕达哥拉斯学派已经知道算术中项、几何中项以及调 和中项。毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项, 其中算术中项、几何中项的定义与今天大致相同,即对于两个正数a、b,称 a+b 2 为a、b的算术中项,称 ab为a、b的几何中项,而今我们分别称之为a、b 的算术平均数和几何平均数,并把这两者相结合的不等式 ab≤ a+b 2 (当且 仅当a=b时取“ab= a+b 2 ”)叫作基本不等式。中华民族悠悠五千年文明 史,也给予了我们丰富的数学文化。下面让我们一起翻开历史画卷,寻找基 本不等式的历史背景及几何意义。 1.赵爽的“弦图” 我们先来看一张图片。2002年第24届国际数学家大会在我国召开,图 9-1是大会会标,是根据我国古代数学家赵爽的“弦图”设计的。 图9-1