第八章  二元一次方程组-【数学文化趣读】2022-2023七年级下册数学读本

44 古代算筹———二元一次方程组 《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作。在它的“方程”一 章里,一次方程组是由算筹布置而成的。《九章算术》中的算筹图是竖排的,为 看图方便,我们把它改为横排,如图8-1。图中各行从左到右列出的算筹数分别 表示二元一次方程中未知数x、y 的系数与相应的常数项。把图8-1(1)所示的 算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来,就是 3x+2y=19 x+4y=23 ,类似地, 你能把图8-1(2)所示的算筹图用方程组的形式表述出来吗? (1) (2) 图8-1 二元一次方程组中的数学思想 数学知识很重要,更重要的是以数学知识为载体所体现出来的数学思想 和方法。考查数学思想和方法的题目越来越多。因此,在学习中要注意体会 教材例题、习题所体现的数学思想和方法,培养用数学思想和方法解决问题 的意识。本章所体现的数学思想有:方程思想、化归思想和数形结合思想。 45 所谓方程思想是指从分析问题的数量关系入手,将问题中的已知量和未 知量之间的数量关系通过适当设元建立起方程(组),然后通过解方程(组)使 问题得到解决的思维方式。 用方程思想解题的关键是利用已知条件和公式、定理中的已知结论构造 方程(组)。这种思想在代数、几何及生活实际中有着广泛的应用。 下面来看一道例题。 某商店出售的某种茶壶每只定价20元,茶杯每只定价3元,该商店在营 销淡季特别规定一项优惠方法,即买一只茶壶赠送一只茶杯。某单位花了 205元,买回了茶壶和茶杯一共45只,问该单位买回茶壶茶杯各多少只? 设买回茶壶x 个,茶杯y 个,根据题意得: x+y=45, 20x+3(y-x)=205, 解这个方程组得: x=5, y=40。 所谓化归思想,就是化未知为已知,化繁为简,化难为易。比如本章解二 元一次方程组的基本思路是“消元”,通过“消元”,把二元一次方程转化为一 元一次方程,逐步实现化“未知”为“已知”的目的,这就是“化归”的数学思想。 掌握了这个思想,三元一次方程组也就迎刃而解了。(例题中解方程组的过 程就是对化归思想的一种灵活运用。) 所谓数形结合思想就是根据数学问题的题设和结论之间的内在联系,既 分析其数量关系,又揭示其几何意义,使数量关系和几何图形巧妙地结合起 来,并充分地利用这种结合,探求解决问题的思路,使问题得到解决的方法。 下面来看一道例题。 甲、乙、丙三人共解100道数学题,每人都解了其中的60道题,将其中一 人解出的题目叫难题,三人都解出的题叫容易题。试问:难题多还是容易题 多? (多的比少的)多几道? 设三人都解出的容易题为x 道,只有一个人解出的难题分别为y1、y2、 46 y3 道,则难题总数为y=y1+y2+y3。由图8-2可知: 图8-2 x+y1+b+c=60, ① x+y2+a+c=60, ② x+y3+a+b=60, ③ x+y+(a+b+c)=100, ④ ①+②+③,得3x+y+2(a+b+c)=180。 ⑤ 由④得2x+2y+2(a+b+c)=200, ⑥ ⑥-⑤得y-x=20。 答:难题多,难题比容易题多20道。 本题涉及的因素较多,直接建立方程困难较大。因此利用数形结合思 想,造形助数,从而解决问题。 鸡兔同笼 “鸡兔同笼”是一道流传很广的算术题。例如:“鸡兔同一笼,头数一十 七,看脚五十六,问有几只鸡?”在你还没学过代数,不会列方程的时候,可以 这样想:如果全是兔,17只兔应当有17×4=68条腿。现在只有56条,比68 少了12条,是因为有鸡。有一只鸡,就少两条腿,多少只鸡才能少12条腿? 12÷2=6,鸡有6只! 用这种分析问题的方法,再加上一点思考,能够找出一般的二元一次联 立方程的解法。在方程组 ax+by=A cx+dy=B 里,设ax=J(鸡),by=T(兔),代入 47 原方程之后,就得到(设ab≠0,否则更容易求解了): J+T=A, c aJ+ d bT=B 。 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 按“J、T 同笼”的思路分析:J 和T 共有A 只,每只“J”有 c a 条“腿”,每只“T”有 d b 条 “腿”。如果没有J,则共有 A 只T,故“腿”应该有 d bA 条,现在只有B 条 “腿”,“少”了 d bA-B 条,是因为里面有J。有一个J,就少 db-ca 条腿,多 少J 才能少 dbA-B 条腿呢? 当然用除法:J= d bA-B d b- c a 。 再用J=ax 求出x= Ad-Bb ad-bc ,y= Ba-Ac ad-bc 。 事实说明,特例里面能引申出解决一般问题的方法。 用消元法解二元一次方程组 中学课程里讲了二元一次方程组和三元一次方程组,但在科技领域里经 常会遇到求解多元一次方