第3课  小数的意义和性质及加减法-【数学文化趣读】2022-2023四年级下册数学读本

20 日本学者吉田光由在参考元代数学家朱世杰《算学启蒙》和明 代程大位《算法统宗》的基础上,撰写了一部日本古典数学著 作———《尘劫记》。其中记载,中国未引入西方的小数点前,中文有 一套小数单位表示小数:分、厘、毫、丝、忽、微、纤等等,各单位是前 一个的十分之一。如圆周率的约数3.1416,读作“三又一分四厘一 毫六丝”或“三个一分四厘一毫六丝”。自小数点从西方传入中国 后,小数单位除了对译十进制词头之外已逐渐不再使用,但现在有 时分、厘仍会用于利率。 现在,在生活中我们常常说“胜负八分对二分”,其实就是说 “我们获胜的概率是0.8,对方获胜的概率是0.2,我们获胜的几率 较大”。再比如,如果我们说“本次比赛是五分对五分”,那么就说 明我方和对方实力相当。另外,我们生活中常说的“饱腹莫过八 分”“九分九厘把握”都是古代中国小数单位的实际运用。 想一想,根据这一记载,分、厘、毫、丝、忽、微、纤各表示现在的 什么小数? 《算法统宗》 21 小数的起源与发展 小数是我国最早提出和使用的。早在公元三世纪,我国古代 数学家刘徽在解决一个数学难题时,就提出了把整数个位以下无 法标出名称的部分称为徽数。我国是最早采用十进位值制计数的 国家。这种计数法使得我国古代在数值计算方面长期处于领先地 位,小数也是我国最早发明并运用的,它经历了一个较长的发展 历程。 小数是在实际度量和整数运算(如除法、开方)的需要中产生 和发展起来的。随着社会的发展,对度量精度的要求逐渐提高,反 映在数学上,就是对数量表示的精确程度要求的提高。开始,人类 只能用整数表示数量,继而在所表示的数量的末尾附注“有余”、 “有奇”或“强”、“弱”等字样,以表示该数量与实际量之间的差异。 当需要用数来比较精确地表明这种差异的时候,就逐渐形成了两 种表示方法:一种是用分数来表示不足整数的剩余部分;另一种是 发展度量衡系统,采用更小的度量衡单位来表示有关的量。我国 古代较早地形成了占主流的十进制单位系统。刘徽在注解《九章 算术》时,长度的记法采用的单位是:丈、尺、寸、分、厘、毫、秒、忽, 忽是最小的单位。在计算中他把忽作为单位,以下那些没有明确 单位的数就是小数,刘徽称作“徽数”,或者把它舍去,或者化成简 单分数,或者用十进分数表达。刘徽是我国历史上目前所知最早 应用小数的数学家,可惜的是他没有对计数法稍加改进,把小数推 22 到现代的水平,反而把十进分数作为一般的分数进行通分约分。 《九章算术》 刘徽以后,有些天文学家和数学家也从不同的角度采用了这 种科学的小数计数法。南朝刘宋著名科学家何承天编著的《宋书》 律历志部分,大量地记述了如: 十一万八千二百九十六二十五(118296.25) 九万四千三百五十七(94305.17) 这样的数,用附在整数位后面的小字来表明小数,这大概是数 学史上最早的小数表示法了。 刘徽 秦九韶 朱世杰 南朝数学家祖冲之,在圆周率的计算中,求得直径为1丈的 “圆周盈数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽……”这就是人们 熟悉的圆周率。他计算出的圆周率,在3.1415926~3.1415927之 间,精确到了小数点后6位。 23 宋代的数学家秦九韶的《数书九章》中,不仅有大量的小数的 运算,而且对小数的记法也十分先进:用有关文字标明一个筹算数 码的个位数,清楚地把整数部分和小数部分区分开来。如在卷6 “环田三积”的运算中,得出数“三十二万四千五百六步二分五厘” (324506.25步),他在演算中用“余”字明确表示该位以后皆是小 数,“余”字无疑起着与现代小数点同样的作用。他还在卷12和卷 13中使用了0.8,0.5等纯小数。 与秦九韶几乎同一个时代的数学家李冶在用天元术(我国古 代求一元高次方程的方法)解决问题时,也很明确地表示出在运算 中所遇到的小数。如方程348-248x-0.5×2=0中的“0.5”,就 是用“○”表示0.5(天元术中在常数项旁边注一“太”字)。小数的 名称是公元十三世纪我国元代数学家朱世杰提出的。在十三世纪 我国出现了第一个表示小数的记法。 由此可见,宋元时期,我国在小数的记法上不仅指明了数的个 位,区别出整数部分和小数部分,而且对于纯小数,还写上了我国 特有的“○”,表示得十分清楚。由于我国古代筹算历来是对齐数 位进行的,所以小数的运算也是不成为问题的。因此可以说,我国 的小数在宋元时期已发展到现代的水平了,与现在相比,仅是没有 采用小数点的记号罢了。 小数点在我国最早出现在1723年的著作《数理精蕴》里,只是 小数点是记在个位数的右上方的,与现在记法略有不同。然而, 《数理精蕴》中的记法并未引起我国学术界的注意,所以在较长的 时间内,对