7.4 二项式定理（八大题型）-2022-2023学年高二数学新教材同步配套教学讲义（苏教版2019选择性必修第二册）

7．4 二项式定理 【题型归纳目录】 题型一：二项式定理的正用、逆用 题型二：二项展开式的通项的应用 题型三：求两个多项式积的特定项 题型四：余数和整除的问题 题型五：近似计算 题型六：二项展开式的系数和问题 题型七：二项式系数性质的应用 题型八：三项式及多项式展开问题 【知识点梳理】 知识点一：二项式定理 1、定义 一般地，对于任意正整数，都有： 这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式． 式中的做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第项：，其中的系数叫做二项式系数 2、二项式的展开式的特点： （1）项数：共有项，比二项式的次数大1； （2）二项式系数：第项的二项式系数为，最大二项式系数项居中； （3）次数：各项的次数都等于二项式的幂指数．字母降幂排列，次数由到0；字母升幂排列，次数从0到，每一项中，a，b次数和均为； 知识点二、二项展开式的通顶公式 二项展开式的通项： 公式特点： （1）它表示二项展开式的第项，该项的二项式系数是； （2）字母的次数和组合数的上标相同； 知识点三：二顶式系数及其性质 1、的展开式中各项的二顶式系数、、…具有如下性质： ①对称性：二项展开式中，与首末两端“等距离"的两项的二项式系数相等，即； ②增减性与最大值：二项式系数在前半部分逐渐增大，在后半部分逐渐减小，在中间取得最大值．其中，当为偶数时，二项展开式中间一项的二项式系数最大；当为奇数时，二项展开式中间两项的二项式系数相等，且最大． （3）各二项式系数之和为，即； （4）二项展开式中各奇数项的二项式系数之和等于各偶数项的二项式系数之和，即． 知识点诠释： 二项式系数与展开式的系数的区别 二项展开式中，第项的二项式系数是组合数，展开式的系数是单项式的系数，二者不一定相等． 2、展开式中的系数求法的整数且 知识点诠释： 三项或三项以上的展开式问题，把某两项结合为一项，利用二项式定理解决． 知识点四：二项式定理的应用 1、求展开式中的指定的项或特定项（或其系数）． 2、利用赋值法进行求有关系数和． 3、利用二项式定理证明整除问题及余数的求法： 4、证明有关的不等式问题： 5、进行近似计算： 【典型例题】 题型一：二项式定理的正用、逆用 例1．（2022·全国·高二课时练习）用二项式定理展开下列各式： （1）； （2）． 【解析】（1） ． （2） ． 【方法技巧与总结】 （1）的二项展开式有项，是和的形式，各项的幂指数规律是：①各项的次数和等于n；②字母a按降幂排列，从第一项起，次数由n逐项减1直到0；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由0逐项加1直到n． （2）逆用二项式定理可以化简多项式，体现的是整体思想．注意分析已知多项式的特点，向二项展开式的形式靠拢． 例2．（2022·全国·高二课时练习）化简：． 【解析】∵，，， ∴原式 ． 例3．（2022·全国·高二课时练习）求的展开式． 【解析】展开式的通项为， 展开式为． 题型二：二项展开式的通项的应用 例4．（2022·浙江金华·高三阶段练习）二项式的展开式中常数项是_______． 【答案】6 【解析】二项式的展开式的通项为， 令 ，即二项式的展开式中常数项是， 故答案为：6． 【方法技巧与总结】 求二项展开式的特定项的常用方法 （1）对于常数项，隐含条件是字母的指数为0（即0次项）． （2）对于有理项，一般是先写出通项公式，求其所有的字母的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数集，再根据数的整除性来求解． （3）对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致． 例5．（2022·全国·高二课时练习）（1）求展开式中的前4项； （2）求展开式中的第8项； （3）求展开式中的第7项． 【解析】（1）展开式的第1项为， 第2项为， 第3项为， 第4项为； （2）展开式中的第8项为 （3）展开式中的第7项 例6．（2022·江苏·高二课时练习）已知在的展开式中，第项为常数项． （1）求； （2）求含项的系数； （3）求展开式中所有的有理项． 【解析】（1）通项公式为． 因为第项为常数项，所以时，有，解得． （2）由可知，令，解得． 所以含项的系数为． （3）由题意可知，， 则可能的取值为，，． 所以第项，第项，第项为有理项，分别为，，． 变式1．（2022·全国·高二单元测试）已知在的展开式中，第9项为常数项．求： （1）n的值； （2）展开式中x5的系数； （3）含x的整数次幂的项的个数． 【解析】二项展开式的通项Tk+1==（-1）k． （1）因为第9项为常数项，即当k=8时，2n-k=0，解得n=10． （2）令2n-k=5，得k=（2n-5）=6， 所以