7.3 组合（八大题型）-2022-2023学年高二数学新教材同步配套教学讲义（苏教版2019选择性必修第二册）

7．3组合 【题型归纳目录】 题型一：组合概念的理解 题型二：简单的组合问题 题型三：组合数公式的应用 题型四：多面手问题 题型五：分组、分配问题 题型六：与几何有关的组合应用题 题型七：隔板法 题型八：分堆问题 【知识点梳理】 知识点一：组合 1、定义： 一般地，从个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合． 知识点诠释： （1）从排列与组合的定义可知，一是“取出元素”；二是“并成一组”，“并成一组”即表示与顺序无关． 排列与元素的顺序有关，而组合与元素的顺序无关，这是它们的根本区别． （2）如果两个组合中的元素相同，那么不管元素的顺序怎样都是相同的组合；只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合．因此组合问题的本质是分组问题，它主要涉及元素被取到或末被取到． 知识点二：组合数及其公式 1、组合数的定义： 从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数．记作． 知识点诠释： “组合”与“组合数”是两个不同的概念： 一个组合是指“从个不同的元素中取出个元素并成一组”，它不是一个数，而是具体的一件事；组合数是指“从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数”，它是一个数． 2、组合数公式： （1）（，且） （2）（，且） 知识点诠释： 上面第一个公式一般用于计算，但当数值m、n较大时，利用第二个式子计算组合数较为方便，在对含有字母的组合数的式子进行变形和论证时，常用第二个公式． 知识点三：组合数的性质 性质1：（，且） 性质2：（，且） 知识点诠释： 规定：． 知识点四、组合问题常见题型 （1）“含有”或“不含有”某些元素的组合题型： “含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取． （2）“至少”或“最多”含有几个元素的题型： 解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解，但通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理． （3）分堆问题 ①平均分堆，其分法数为：． ②分堆但不平均，其分法数为． （4）定序问题． 对于某些元素的顺序固定的排列问题，可先全排，再除以定序元素的全排，或先在总位置中选出定序元素的位置而不参加排列，然后对其他元素进行排列． （5）相同元素分组问题用“隔板法”： 【典型例题】 题型一：组合概念的理解 例1．（2022·全国·高二课时练习）判断下列问题是组合问题还是排列问题． (1)若集合，则集合的含有3个元素的子集有多少个？ (2)某铁路线上有4个车站，则这条铁路线上需准备多少种车票？ (3)从7本不同的书中取出5本给某同学； (4)三个人去做5种不同的工作，每人做1种，有多少种分工方法？ (5)把3本相同的书分给5个学生，每人最多得一本，有多少种分配方法？ 【解析】(1)因为集合的任一个含3个元素的子集与元素顺序都无关，所以它是组合问题． (2)因为车票与起点、终点顺序有关，例如“甲→乙”与“乙→甲”的车票不同，所以它是排列问题． (3)因为从7本不同的书中取出5本给某同学，取出的5本书并不考虑书的顺序，所以它是组合问题． (4)因为从5种不同的工作中选出3种，按一定顺序分给三个人去做，所以它是排列问题． (5)因为3本书是相同的，把这3本书无论分给哪三个人都不需要考虑顺序，所以它是组合问题． 【方法技巧与总结】 排列、组合辨析切入点 （1）组合的特点是只选不排，即组合只是从n个不同的元素中取出m（m≤n）个不同的元素即可． （2）只要两个组合中的元素完全相同，不管顺序如何，这两个组合就是相同的组合． （3）判断组合与排列的依据是看是否与顺序有关，与顺序有关的是排列问题，与顺序无关的是组合问题． 例2．（2022·江苏·高二课时练习）判断下列问题是排列问题还是组合问题，并求出相应的排列数或组合数. （1）10个人相互写一封信，一共写了多少封信？ （2）10个人相互通一次电话，一共通了多少次电话？ （3）10支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次)，这次比赛需要进行多少场？ （4）从10个人中选3人去开会，有多少种选法？ （5）从10个人中选出3人担任不同学科的课代表，有多少种选法？ 【解析】（1）排列问题，因为发信人与收信人是有顺序区别的，排列数为. （2）组合问题，因为甲与乙通一次电话，也就是乙与甲通一次电话，没有顺序区别，组合数为 （3）组合问题，因为每两个队比赛一次，没有顺序的区别，组合数为 （4）组合问题，因为去开会的3个人之间没有顺序的区别，组合数为 （5）排列问题，因为3个人担任哪一科的课代表是有区别的，排列数为. 例3．（2022·全国·高二课时练习）给出下列问题： （1）从a，b，c，d四名学生中选2名