05 平面向量常用解题大招（2） 同步复习讲义-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

高一数学 同步复习讲义（人教A版（2019）） 05 平面向量常用解题大招（2） ◇ 知 识 链 接 ◇ 知识链接01 极化恒等式 （1）（教材例题）平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和： ① ② ①+②得： （2）极化恒等式： ①－②得：a·b＝ ———— 极化恒等式 极化恒等式表示平面向量的数量积运算可以转化为平面向量线性运算的模，如果将平面向量换成实数，那么上述公式也叫“广义平方差”公式． ( A B C M )（3）极化恒等式的平行四边形模式：a·b＝(|AC|2－|BD|2) 几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的． （4）极化恒等式的三角形模式： 在△ABC中，若M是BC的中点，则·＝| |2－| |2. 知识链接02 矩形大法 矩形所在平面内任一点到其对角线端点距离的平方和相等． 【证明】设，以AB所在直线为轴建立平面直角坐标系xoy， 则，设， 则： ． 知识链接03 向量数量积的运算的常用方法： （1）定义法求数量积；（2）基底法求数量积；（3）坐标法求数量积； （4）数量积的几何意义：a·b等于a的长度与b在a方向上的投影|b|的乘积． ◇ 典 例 剖 析 ◇ 典例剖析01 极化恒等式的应用 （1）设向量a，b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a·b等于 ． （2）在中，是的中点，，则 ． （3）如图所示，正方形ABCD的边长为1，A，D分别在x轴，y轴的正半轴(含原点)上滑动，则·的最大值是________． 典例剖析02 矩形大法的应用 （1）已知圆与，定点，A、B分别在圆和圆上，满足，则线段AB的取值范围是 ． （2）在平面内，已知，，，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 典例剖析03 平面向量的数量积的几何意义与数形结合 （1）已知外接圆的圆心为，,  则= ． （2）在中，，若为的垂心， 则 ． （3）如图，是半径为的圆的直径，是圆上异于的，一点，是线段上靠近的三等分点，且，则的值为 ． （4）已知是单位向量，，若向量满足，则的最大值是 ． （5）已知向量，，，满足，若， 则的最大值为 ，最小值为 ． · 小 试 牛 刀 ◇ 1．已知向量满足：，则的最大值为 ． 2．已知向量是单位向量，且，则的最小值为 ． 3．正三角形内接于半径为2的圆O，点P是圆O上的一个动点，则的取值范围是 ． 4．设，是两个不共线的单位向量，若满足，且，则当最小时，在与的夹角的余弦值为 ． 5．已知是的外心，，，，若， 则（ ） 6．已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a－c)·(b－c)＝0， 则|c|的最大值是 ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学 同步复习讲义（人教A版（2019）） 05 平面向量常用解题大招（2） ◇ 知 识 链 接 ◇ 知识链接01 极化恒等式 （1）（教材例题）平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和： ① ② ①+②得： （2）极化恒等式： ①－②得：a·b＝ ———— 极化恒等式 极化恒等式表示平面向量的数量积运算可以转化为平面向量线性运算的模，如果将平面向量换成实数，那么上述公式也叫“广义平方差”公式． ( A B C M )（3）极化恒等式的平行四边形模式：a·b＝(|AC|2－|BD|2) 几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的． （4）极化恒等式的三角形模式： 在△ABC中，若M是BC的中点，则·＝| |2－| |2. 知识链接02 矩形大法 矩形所在平面内任一点到其对角线端点距离的平方和相等． 【证明】设，以AB所在直线为轴建立平面直角坐标系xoy， 则，设， 则： ． 知识链接03 向量数量积的运算的常用方法： （1）定义法求数量积；（2）基底法求数量积；（3）坐标法求数量积； （4）数量积的几何意义：a·b等于a的长度与b在a方向上的投影|b|的乘积． ◇ 典 例 剖 析 ◇ 典例剖析01 极化恒等式的应用 （1）设向量a，b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a·b等于 ． 【答案】 1 （2）在中，是的中点，，则 ． 【答案】设，则