04 平面向量常用解题大招（1） 同步复习讲义-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

高一数学 同步复习讲义（人教A版（2019）） 04 平面向量常用解题大招（1） ◇ 知 识 链 接 ◇ 知识链接01 三点共线的充要条件 设、、是三个不共线向量， 则A、B、P共线与共线存在使． 特别地： P为线段AB的中点 ． 知识链接02 等和线与相应符号法则 （1）平面内一组基底及任一向量，，若点在直线上或者在平行于的直线上，则（定值），反之也成立，我们把直线以及与直线平行的直线称为等和线。 （ⅰ）当等和线恰为直线时，； （ⅱ）当等和线在点和直线之间时，； （ⅲ）当直线在点和等和线之间时，； （ⅳ）当等和线过点时，； （ⅴ）若两等和线关于点对称，则定值互为相反数． （2）OA与OB所在直线将坐标平面分成四个区域，的符号法则与平面直角坐标系下点的坐标的符号法则相似． 知识链接03 奔驰定理与三角形的“四心” （1）奔驰定理： 若O为内任一点，则． （2）三角形的“四心”的向量表达式： （ⅰ）O为△ABC的重心＋＋＝0． （ⅱ）O为△ABC的内心||·＋||·＋||·＝0； ． （ⅲ）O为△ABC的外心||＝||＝||＝； ． （ⅳ）O为△ABC的垂心·＝·＝·； ||2＋||2＝||2＋||2＝||2＋||2； ． ◇ 典 例 剖 析 ◇ 典例剖析01 三点共线与等和线 （1）如图，OM∥AB，点P由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内（不含边界）.且，则实数对（x, y）可以是（ ） A．　　　B. C. D. （2）给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为，点在以为圆心的圆弧上变动。若，其中，则的最大值是__________。 （3）已知是内的任意一点，且满足，则的取值范围是 ． （4）已知满足：，若，其中， 且，则的最小值 ． （5）已知、是半径为2 的圆上任意两点，且，若是圆的一条直径，且点满足，则的最小值为 ． 典例剖析02 平面向量与三角形的“四心”问题 （以下各题填“重心”“ 内心”“ 外心”“ 垂心”中的一个） （1）已知是所在平面上一点，若，则是的__． （2）已知是所在平面上一点，若，则点是的________． （3）已知是所在平面上一点，动点满足，，则的轨迹一定通过的________． （4）已知是所在平面上一点，动点满足， ，则的轨迹一定通过的________． （5）已知，，是平面内不共线三点，是的外心，动点满足 ， 则的轨迹一定通过的________． （6）设P是△ABC所在平面内一点，若·(＋)＝2·， 且2＝2－2·，则点P是△ABC的________． （7）在△ABC中，||＝3，||＝2，＝＋，则直线AD通过△ABC 的________． （8）已知是所在平面上一点，动点满足 ，， 则动点一定通过的________． · 小 试 牛 刀 ◇ 1．已知是边长为的正三角形，若点满足， 则的最小值为 ． 2．在锐角中，，若点为的外心，且， 则的最大值为 ． 3．设，是两个不共线的单位向量，若满足，且， 则当最小时，在与的夹角的余弦值为 ． 4．已知向量，，，满足，若，则的最大值为 ，最小值为 ． 5．点在的内部，且有，则的面积与的面积之比为 ． 6．点为所在平面内一点，且，则的面积与的面积之比为 ． 7．已知外接圆的圆心为，,  则= ． 8．在中，，若为的垂心，则 ． 9．已知为所在平面上的一点，且，，．若，则是的________． 10．已知是所在平面上一点，动点满足 （λ∈（0，+∞）），则动点P的轨迹一定通过的（　　） 11．已知O，N，P在△ABC所在平面内，且||＝||＝||，＋＋＝， 且·＝·＝·，则点O，N，P依次是△ABC的____． 12．（多选）如图，在等腰直角三角形中，，，，分别为，上的动点，设，，其中，则下列说法正确的是（ ） A．若，则 B．若，则与不共线 C．若，记三角形的面积为，则的最大值为 D．若，且，分别是，边的中点， 则的最小值为 13．（多选）在给出的下列命题中，正确的是　　 A．已知为的外心，边、长为定值，则为定值 B．中，已知，，，则， 且，则 C．为为所在平面内一点，且，则动点的轨迹必通过的重心． D．为的垂心，，则 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学 同步复习讲义（人教A版（2019）） 04 平面向量常用解题大招（1） ◇ 知 识 链 接 ◇