03 平面向量的数量积及其应用 同步复习讲义-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

高一数学 同步复习讲义（人教A版（2019）） 03 平面向量的数量积及其应用 ◇ 知 识 链 接 ◇ 知识链接01 向量的夹角 （1）定义：已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b， 则∠AOB就是向量a与b的夹角． （2）范围：向量夹角的范围是[0，π] ． （3）若θ＝0°，则a与b同向共线； 若θ＝180°，则a与b反向共线； 若θ＝90°，则a与b垂直． 知识链接02 平面向量的数量积 定义 设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|·cos θ叫做a与b的数量积，记作a·b； 规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0． 投影 |a|cos θ叫做向量a在b方向上的投影； |b|cos θ叫做向量b在a方向上的投影 几何意义 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积 知识链接03 向量数量积的运算律 （1）a·b＝b·a. （2）(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)． （3）(a＋b)·c＝a·c＋b·c. 知识链接04 平面向量数量积的性质 已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ. 结论 符号表示 坐标表示 数量积 a·b x1x2＋y1y2 模 |a|＝ |a|＝ 夹角 cos θ＝ cos θ＝ a⊥b的充要条件 a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0 |a·b|与|a||b|的关系 |a·b|≤|a||b| |x1x2＋y1y2|≤ 知识链接05 常用结论 （1）a与b同向时，a·b＝|a||b|；a与b反向时，a·b＝－|a||b|. （2）向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(a·b)·c不一定等于a·(b·c)． （3）a 2＝a·a＝| a |2或| a |＝＝； | a ±b|＝＝. （4）两个向量a与b的夹角为锐角，则有a·b＞0，且a与b不共线； 两个向量a与b的夹角为钝角，则有a·b＜0，且a与b不共线． ◇ 典 例 剖 析 ◇ 典例剖析01 平面向量数量积运算及其简单应用 （1）已知单位向量a，b的夹角为45°，ka－b与a垂直，则k＝________． （2）已知e1，e2是两个单位向量，且|e1＋e2|＝，则|e1－e2|＝________． （3）已知向量a与b的夹角为，且|a|＝1，|2a－b|＝，则|b|＝________． （4）已知向量a，b满足|a|＝5，|b|＝6，a·b＝－6，则cos〈a，a＋b〉＝________． （5）已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为________． （6）已知向量a，b满足(a－2b)⊥(3a＋b)，且|a|＝|b|，则a与b的夹角为______． （7）设向量a＝(－1,2)，b＝(m,1)，如果向量a＋2b与2a－b平行，那么a与b的数量积等于________． （8）如图，在△ABC中，M为BC的中点，若AB＝1，AC＝3， 与的夹角为60°，则||＝________． （9）已知a，b满足a·(b＋a)＝2，且a＝(1,2)，则向量b在a方向上的投影为____． （10）已知|a|＝2，|b|＝1，a与b的夹角为，e是与向量(a＋b)方向相同的单位向 量，则a在向量(a＋b)上的投影向量为________． （11）已知△ABC中，∠A＝120°，且AB＝3，AC＝4，若＝λ＋，且⊥，则实数λ的值为________． （12）已知＝(2,3)，＝(3，t)，||＝1，则·等于________． （13）在Rt△ABC中，∠C＝，AB＝4，AC＝2，若＝，则·等于________． （14）已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则· 的取值范围是________． （15）已知P是边长为2的正方形ABCD内的一点，则· 的取值范围是________． （16）在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝2，AD＝5，∠A＝30°，点E在线段CB的延长线上，且AE＝BE，则·＝________． 典例剖析02 平面向量与三角函数的综合问题 （1）在平面直角坐标系xOy中，向量m＝，n＝(sin x，cos x)，x∈. （ⅰ）若m⊥n，求tan x的值； （ⅱ）若m与n的夹角为，求x的值． （2）已知向量a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－)，x∈[0，π]． （ⅰ）若a∥b，求x的值； （ⅱ）记f(x)＝a·b，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值． 典例剖析03 平面向量的实际应用 （1）一物体在力F的作用下，由点A(20,15)移动到点B(7,0)．已知F＝(4，－5)，则F对该物体做的功