7.1 条件概率与全概率公式（五大题型）-2022-2023学年高二数学新教材同步配套教学讲义（人教A版2019选择性必修第三册）

7.1 条件概率与全概率公式 【题型归纳目录】 题型一：利用定义求条件概率 题型二：条件概率的性质及应用 题型三：全概率公式 题型四：贝叶斯公式 题型五：全概率公式与贝叶斯公式的综合应用 【知识点梳理】 1、条件概率的概念 条件概率揭示了三者之间“知二求一”的关系 一般地，设A，B为两个随机事件，且，我们称为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率，简称条件概率． 2、概率的乘法公式 由条件概率的定义，对任意两个事件与，若，则．我们称上式为概率的乘法公式． 3、条件概率的性质 设，则 （1） （2）如果与是两个互布事件，则； （3）设和互为对立事件，则． 4、全概率公式 在全概率的实际问题中我们经常会碰到一些较为复杂的概率计算，这时，我们可以用“化整为零”的思想将它门闷分解为一些较为容易的情况分别进行考虑 一般地，设是一组两两互F的事件，，且，则对任意的事件，有 我们称上面的公式为全概率公式，全概率公式是概率论中最基本的公式之一． 5、贝叶斯公式 设是一组两两互压的事件，，且，则对任意事件，有 6、在贝叶斯公式中，和分别称为先俭概率和后验概率． 【典型例题】 题型一：利用定义求条件概率 【方法技巧与总结】 利用定义计算条件概率的步骤 (1)分别计算概率和． (2)将它们相除得到条件概率，这个公式适用于一般情形，其中AB表示A，B同时发生． 例1．（2023·辽宁葫芦岛·高三统考期末）在一段时间内，甲去某地的概率是，乙去某地的概率是，假定两人的行动相互之间没有影响，那么在这段时间内至少有1人去此地的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】（法一）设“甲去某地”为事件A，“乙去某地”为事件B， 则至少有一人去此地的概率为 ； （法二）所求事件的概率； 故选：C． 例2．（2023·全国·开滦第二中学校考模拟预测）小陈和小李是某公司的两名员工，在每个工作日小陈和小李加班的概率分别为和，且两人同时加班的概率为，则某个工作日，在小李加班的条件下，小陈也加班的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】记“小李加班”为事件A，“小陈加班”为事件B，则， 故在小李加班的条件下，小陈也加班的概率为. 故选：C. 例3．（2023·天津河北·高三统考期末）将三颗骰子各掷一次，记事件“三个点数都不同”，“至少出现一个点”，则条件概率，分别等于（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解析】由题意知：事件“三个点数都不同且至少出现一个点”， ，，， ，. 故选：B. 变式1．（2023·江苏连云港·统考模拟预测）在某地区进行流行病调查，随机调查了100名某种疾病患者的年龄，发现该100名患者中有20名的年龄位于区间内．已知该地区这种疾病的患病率为0.15%，年龄位于区间内人口占该地区总人口的30%．现从该地区任选一人，若此人年龄位于区间内，则此人患该疾病的概率为（    ） A．0.001 B．0.003 C．0.005 D．0.007 【答案】A 【解析】设从该地区任选一人，若此人年龄位于区间内为事件A，此人患该疾病为事件B，则 . 故选：A. 变式2．（2023·辽宁辽阳·高二校联考期末）某学习小组共有10名成员，其中有6名女生，为学习期间随时关注学生学习状态，现随机从这10名成员中抽选2名任小组组长，协助老师了解学情，A表示“抽到的2名成员都是女生”，B表示“抽到的2名成员性别相同”，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题可知，，，. 故选：D 变式3．（2023·山西长治·高二长治市上党区第一中学校校考期末）有6名选手（含选手甲、乙）参加了男子100米赛跑决赛，则在甲的名次比乙高的条件下，甲、乙两人名次相邻的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】甲的名次比乙高， 当甲第一名时，乙有5种位置，其中甲乙相邻有1种情况， 当甲第二名时，乙有4种位置，其中甲乙相邻有1种情况， 当甲第三名时，乙有3种位置，其中甲乙相邻有1种情况， 当甲第四名时，乙有2种位置，其中甲乙相邻有1种情况， 当甲第五名时，乙有1种位置，其中甲乙相邻有1种情况， 所以甲的名次比乙高共有种情况， 甲的名次比乙高且甲乙相邻有5种情况， 所以在甲的名次比乙高的条件下，甲、乙两人名次相邻的概率为. 故选：A. 题型二：条件概率的性质及应用 【方法技巧与总结】 当所求事件的概率相对较复杂时，往往把该事件分成两个(或多个)互不相容的较简单的事件之和，求出这些简单事件的概率，再利用便可求得较复杂事件的概率． 例4．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知随机事件A，B，，，，则________. 【答案】 【解析】依题意得，所以 故，所以. 故答案为：. 例5．（2023·全