第五节 正弦定理 讲义-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第五节 正弦定理 知识清单 1．正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于其外接圆的直径，即（其中是三角形外接圆的半径）． （1）化边为角 ①，，； ②． （2）化角为边 ①，，； ②． 2．三角形面积公式 （1）； （2）（角化边），为外接圆半径； （3）（边化角），为外接圆半径； （4），是三角形内切圆半径； （5），其中． 3．三角形中重要的结论 （1）三角形三角关系：，． （2）三角形内的诱导公式： ①； ②； ③或，或． （3）三角形三边关系：两边之和大于第三边（两短边之和大于长边），两边之差小于第三边． （4）在同一个三角形中大边对大角：． 题型一 利用正弦定理解三角形 ①已知两边与一边的对角（型） 1．在中，角的对边分别为，若，则　 　 2．在中，角的对边分别为，若，，，则　 ②已知两角与一角的对边（型） 3．在中，角的对边分别为，，则　 　 4．在中，，则　 　，　 　 ③已知两角与第三角的对边（型） 5．在中，角的对边分别为，若， 则　 　 6．在中，角的对边分别为，若， 则　　 题型二 三角形多解问题 已知两边与一边对角（型）且对角为锐角时，三角形可能出现多解 ①若或者，则三角形有且只有一解； ②若，则三角形有两解； ③若，则三角形无解． 7．在中，已知，则（ ） A． B． C．或 D．或 8．在中，角的对边分别为，，则（　 ） A． B． C．或 D．或 9．在中，角的对边分别为，若，则满足上述 条件的三角形解的个数是（ ） A．无解 B．一解 C．两解 D．一解或两解 10．在中，角的对边分别为，且，若这个三角形有两解，则的取值范围是 题型三 利用正弦定理判断三角形的形状 11．在中，，则一定是（　　） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 12．在中，已知，则的形状是（　　） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形 13．在中，已知，则的形状是（　　） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 14．在中，已知，则的形状是（　　） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 15．在中，若，则的形状是（　　） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形 16．在，若，则是 （ ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．锐角三角形 D．直角三角形 题型四 利用正弦定理化简求值 17．在锐角中，角的对边分别为．若，则（　　） A． B． C． D． 18．在中，角的对边分别为，若，则（　　） A． B． C． D． 19．在中，角的对边分别为，若，则（　　） A． B． C． D． 20．在中，角的对边分别为．已知，则　　 21．在中，角的对边分别为．若，则　　 22．在中，角的对边分别为．已知，则　　 23．在中，角的对边分别为．若，则　 　 24．在中，若，则　　 题型五 利用正弦定理求三角形的面积 25．在中，，且的面积，则的长为（　 　） A．2 B．1 C． D． 26．在中，角的对边分别为，且，已知的 面积，，则的值为（　 　） A． B． C． D． 27．在中，角的对边分别为，若， 则的面积为（　 ） A． B． C． D． 28．在中，角的对边分别为，若， 则的面积为（ ） A．2 B． C．3 D． 29．的角的对边分别为．若的面积为，则（　 ） A． B． C． D． 30．在中，，则的面积等于　 　 题型六 利用正弦定理求取值范围 31．在中，,则角C的取值范围是（ ） A. B. C. D. 32．在锐角，若，则的范围（ ） A. B. C. D. 33．在,，是线段上的点，，若的面积为， 则的最大值为（ ） A. B. C. D. 34．若的面积为，且钝角，则＝　 　，的取值范围是　 第五节 正弦定理参考答案 题型一 利用正弦定理解三角形 1． 2． 3．2 4．， 5． 6． 题型二 三角形多解问题 7-10 A，C，C， 题