第三节 平面向量基本定理及坐标表示题型讲义-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第三节 平面向量基本定理及坐标表示 知识清单 1．平面向量基本定理 （1）如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使． （2）若不共线，我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底． 注意：基底向量不共线. （3）由平面向量基本定理可知，任一向量都有可以由同一个基底唯一表示，也就是说，对于平面上的任意向量，均可分解为两个向量． （4）两个重要结论 ①若三点共线，与不共线，且有． ②若为的重心． 2．平面向量的正交分解及坐标表示 （1）正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解． （2）平面向量的坐标表示 在平面直角坐标系内，设与轴、轴方向相同的两个单位向量分别为，取作为基底，对于平面内的任意一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数，使得 ． 我们把有序数对叫做向量的坐标，记作． 其中，叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标，叫做向量的坐标表示． 显然，． 3．平面向量线性运算的坐标表示 （1）已知，，则，. 即两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）． （2）已知两点与，则.（与向量的减法不同，注意区分） 因此，一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标． （3）已知，则． 即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标． 4．平面向量共线的坐标表示 （1）已知，，其中， 则向量共线的充要条件是． （2）已知，，，若要证明这三点共线，可以证明，与这三个向量中任意两个向量共线． 5．平面向量数量积的坐标表示 已知，，为与的夹角． （1）． 即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和． （2）模长： ， ． （3）两个向量垂直的条件：． （4）非零向量，的夹角：． 题型训练一 平面向量基本定理 1．若是平面内的一个基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是（ ） A． B． C． D． 2．在下列向量组中，能作为它们所在平面内所有向量的一组基底是（ ） A． B． C． D． 3．在平行四边形中，是线段的中点，若，则（ ） A． B．2 C． D． 4．在平行四边形中，与交于点，是线段的中点，的延长线与交于点.若，则（ ） A． B． C． D． 5．在正方形中，为中点，若，则 6．在平行四边形中，是线段的中点，与交于点，若， 则 7．在中，分别是边上的点，且有，，与交于点，若，则 8．在平行四边形中，分别是的中点，交于，若，则 9．已知为的内心，，若，则 10．如图，在同一个平面内，向量的模分别为1，1，，与的夹角为， 且，与的夹角为．若（）， 则　 　 题型训练二 平面向量线性运算的坐标表示 题型一 平面向量线性运算的坐标表示 1．已知平面向量，，则向量（　 ） A． B． C． D． 2．向量，，则（　　） A．10 B． C． D． 3．已知点，则 ， 4．已知向量，若，则 题型二 平面向量共线的坐标表示 5．平面向量与平行的充要条件是（　　） A． B． C． D． 6．已知平面直角坐标系内的两个向量，，且平面内任意向量都可以唯一地表示成（为实数），则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 7．已知向量，，若，则 8．已知向量，，，若，则 题型三 平面向量共线的坐标表示的运用 9．若三点共线，则m的值为（　　） A． B． C． D．2 10．已知为平行四边形的四个顶点，则的不可能为（　　） A． B． C． D． 11．已知点，若，则点的坐标为 12．向量，，若与共线（且），则 13．已知向量，若三点共线，则 14．已知点，点在直线上，且，则点的坐标为 题型训练三 平面向量数量积的坐标表示 题型一 平面向量数量积的坐标运算 1．已知向量满足，，（ ） A．4 B．3 C．2 D．0 2．若向量，且，则（　　） A．2 B． C．7 D． 3．已知，，则（　　） A． B． C．2 D．3 4．已知向量，是不平行于x轴的单位向量，且，则（　　） A． B． C． D． 题型二 平面向量垂直的条件 5．已知向量，，且，则（　　） A． B． C．6 D．8 6．已知向量，，若，则（　　） A．1 B． C． D．2 7．已知向量，，且，则