第二节 平面向量的运算题型讲义-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第二节 平面向量的运算 知识清单 1．向量的加法运算 （1）定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法． （2）运算法则：向量加法的三角形法则与平行四边形法则． （3）运算律：① ② ③ （4）（当且仅当，方向相同时等号成立） 2．向量的减法运算 （1）相反向量：与向量长度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量． （2）定义：求两个向量差的运算，叫做向量的减法．向量的减法可以转换为向量的加法来进行， 即，减去一个向量等于加上这个向量的相反向量． （3）几何意义：当向量同起点时，表示从向量终点指向向量的终点的向量， 向量与向量在以向量为邻边的平行四边形中的对角线上． 3．向量的数乘运算 （1）定义： 我们规定实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作． 长度与方向规定如下： ① ②当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反； 当时，，方向是任意的． （2）运算律：① ② ③ ④， （3）线性运算：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．向量线性运算的结果仍是向量． 对于任意向量，以及实数，恒有 （4）向量共线定理：向量与共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使． 4．平面向量的数量积 （1）向量的夹角 已知两个非零向量，是平面上任意一点，作，则 叫做向量与的夹角．（起点不同的向量找夹角时，需要平移到同一起点） 当时，与同向；当时，与反向；当时，与垂直，记作． （2）向量的数量积 已知两个非零向量与，它们的夹角为，我们把数量叫做向量与的数量积 （或内积），记作，即． 规定：零向量与任一向量的数量积为0． （3）投影与投影向量 ①投影：已知两个非零向量与，它们夹角为，则叫做向量在向量方向上的投影， 叫做向量在向量的方向上的投影． ②投影向量：在平面内任取一点，作，，过点作的垂线，垂足为， 则就是向量在向量上的投影向量． 即，其中为向量与的夹角，为与方向相同的单位向量（）． ③几何意义：数量积等于向量的长度与向量在的方向上的投影的乘积． （4）向量数量积的性质 设是非零向量，它们的夹角为，是与方向相同的单位向量，则 ① ② ③当与同向时，； 当与反向时，； 或 ④； （5）向量数量积的运算律 ①； ②； ③ 注意：不一定等于，不能推出 题型训练一 平面向量的线性运算 题型一 向量加、减法的运算 1．化简（　　） A． B． C． D．0 2．已知向量与反向，则下列等式中成立的是（　　） A． B． C． D． 3．设为平行四边形对角线的交点，为平行四边形所在平面内任意一点， 则等于（　　） A． B． C． D． 4．已知为非零向量，且平分与的夹角，则（　　） A． B． C． D．以上都不对 5．已知及平面内一点满足，则下列说法中正确的是（　　） A．在的内部 B．在的边上 C．在边所在的直线上 D．在的外部 6．化简向量 7．化简 8．已知，则 9．已知非零向量满足，则向量与所在直线的夹角大小为 ， 向量与所在直线的夹角大小为 10．已知，则的取值范围是 11．已知非零向量满足，则 12．已知是的重心，证明：． 题型二 向量的数乘与向量共线定理 13．已知实数和向量，下列给出的四个命题中正确的个数是（ ） ① ② ③若，则 ④若，则 A．1 B．2 C．3 D．4 14．已知是两个不共线的非零向量，若向量与，则（　　） A． B． C． D．8 15．已知不共线的向量，，，若三点共线， 则的关系一定成立的是（　　） A． B． C． D． 16．已知向量中任意两个都不共线，但与共线，与共线， 则向量（　　） A． B． C． D． 17．已知是两个不共线的非零向量，若向量与共线，则 18．已知是两个不共线的非零向量，， 若三点共线，则 题型三 用已知向量表示其他向量（三角形法则与平行四边形法则的运用） 19．在中，D是AB边上的中点，则（　　） A． B． C． D． 20．已知D为所在平面内一点，，则（　　） A． B． C． D． 21．在中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则（　　） A． B． C． D． 22．如图，已知，，则（　　） A． B． C． D． 23．在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，F为AE的中点，则（　　） A． B． C． D． 24．在等腰梯形ABCD中，，M为BC