5.1 导数的概念及其意义-2022-2023学年高二数学【知识梳理+题型探究+跟踪训练+达标检测】同步讲义系列（人教A版2019选择性必修第二册）

第五章《一元函数的导数及其应用》 5.1　导数的概念及其意义 知识点一　函数的平均变化率 对于函数y＝f(x)，设自变量x从x0变化到x0＋Δx，相应地，函数值y就从f(x0)变化到f(x0＋Δx)．这时，x的变化量为Δx，y的变化量为Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)．我们把比值，即＝ 叫做函数y＝f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率． 知识点二　函数在某点处的导数 如果当Δx→0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称y＝f(x)在x＝x0处可导， 并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作f′(x0)或， 即f′(x0)＝ ＝ . 知识点三　导数的几何意义 1．割线斜率与切线斜率 设函数y＝f(x)的图象如图所示，直线AB是过点A(x0，f(x0))与点B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))的一条割线，此割线的斜率是＝. 当点B沿曲线趋近于点A时，割线AB绕点A转动，它的极限位置为直线AD，直线AD叫做此曲线在点A处的切线．于是，当Δx→0时，割线AB的斜率无限趋近于过点A的切线AD的斜率k，即k＝f′(x0)＝ . 2．导数的几何意义 函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是f′(x0)．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． 知识点四　导函数的定义 从求函数f(x)在x＝x0处导数的过程可以看出，当x＝x0时，f′(x0)是一个唯一确定的数．这样，当x变化时， y＝f′(x)就是x的函数，我们称它为y＝f(x)的导函数(简称导数)．y＝f(x)的导函数记作f′(x)或y′， 即f′(x)＝y′＝ . 特别提醒： 区别 联系 f′(x0) f′(x0)是具体的值，是数值 在x＝x0处的导数f′(x0)是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值，因此求函数在某一点处的导数，一般先求导函数，再计算导函数在这一点的函数值 f′(x) f′(x)是函数f(x)在某区间I上每一点都存在导数而定义的一个新函数，是函数 【题型目录】 题型一、函数的平均变化率 题型二、求瞬时速度 题型三、求函数在某点处的导数 题型四、求切线方程 题型五、求切点坐标 题型六、利用图象理解导数的几何意义 题型一、函数的平均变化率 1．设函数，当自变量t由2变到2.5时，函数的平均变化率是（    ） A．5.25 B．10.5 C．5.5 D．11 2．在x＝1附近，取Δx＝0.3，在四个函数①y＝x、②y＝x2、③y＝x3、④中，平均变化率最大的是(　　) A．④ B．③ C．② D．① 题型二、求瞬时速度 3．一质点沿直线运动，如果由始点起经过秒后的位移与时间的关系是，那么速度为零的时刻是（ ） A．0秒 B．1秒末 C．4秒末 D．1秒末和4秒末 4．函数在区间上的平均变化率等于时的瞬时变化率，则（     ） A． B．1 C．2 D． 5．物体的运动方程为（s的单位：米，t的单位：秒），则此物体在t＝10的瞬时速度是______． 题型三、求函数在某点处的导数 6．已知函数在处的导数为1，则= （ ） A．3 B． C． D． 7．已知函数，则______． 8．函数在处的导数为______． 题型四、求切线方程 9．，在处切线方程为（　　） A． B． C． D． 10．曲线在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 11．已知函数. （1）求曲线y=f(x)在点P(1，-2)处的切线方程； （2）过点P(2，2)作曲线y=f(x)的切线，求此切线的方程. 题型五、求切点坐标 12．过曲线y＝x2上某点P的切线满足下列条件，分别求出P点． (1)平行于直线y＝4x－5； (2)垂直于直线2x－6y＋5＝0； (3)与x轴成135°的倾斜角． 13．已知曲线f(x)＝x2－1在x＝x0处的切线与曲线g(x)＝1－x3在x＝x0处的切线互相平行，求x0的值． 题型六、利用图象理解导数的几何意义 14．函数的图象如图所示，为函数的导函数，下列排序正确的是（     ） A． B． C． D． 15．若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是(　　) 16．已知函数f(x)满足f′(x1)>0，f′(x2)<0，则在x1和x2附近符合条件的f(x)的图象大致是(　　) 1．设在处可导，的值是（    ） A． B． C． D．不一定存在 2．函数，在的平均变化率分别记为，则下面结论正确的是（