2023年中考数学重难点训练——四边形的综合

2023年中考数学重难点训练——四边形的综合 一、综合题 1．如图①，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点 ， ， ，且 . （1）求证：四边形ABCD是矩形； （2）以 三点为顶点，求作菱形 . 小明的作法：如图②，过D点 ，过C点作 ，两线交于点P，则四边形 为所求作的菱形. ①请证明小明所作的四边形 是菱形； ②若 ， ，求四边形 的面积. 2．如图， 中， 于点G， ，F在 上， 交 于点E，连接 ， . （1）若 ， ，求 的长度； （2）求证： . 3．已知：如图，在矩形ABCD中，M，N分别是边AD，BC的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点． （1）求证： ； （2）判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论； （3）当AD，AB满足什么条件时，四边形MENF是正方形． 4．如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． （1）概念理解：在下列四边形中，①正方形；②矩形；③菱形；④平行四边形．是垂美四边形的是：　 　（填写序号）； （2）性质探究：如图1，垂美四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为O，试猜想：两组对边AB，CD与BC，AD之间的数量关系，并说明理由； （3）问题解决：如图2，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，且CE与BG相交于点H，已知BC=3，AB=5，求GE长． 5．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60cm，∠A＝60°，点D从点A出发沿AC方向以4cm/s的速度向点C匀速运动，同时点E从点B出发沿BA方向以2cm/s的速度向点A匀速运动，设点D、E运动的时间是t秒（0＜t＜1S），过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF． （1）求证：四边形AEFD是平行四边形； （2）当t为何值时，四边形AEFD为菱形？说明理由； （3）当t为何值时，△ADE与△ABC相似？说明理由． 6．我们定义：有一组对边相等，另一组对边不相等的凸四边形叫做“单等对边四边形”. （1）如图1，在 中，点E为 上不与点A，B重合的一点， .求证：四边形 为单等对边四边形； （2）如图2，在 的网格中，顶点A、B、C均是格点，请在此网格内找格点D，使四边形 为单等对边四边形，请你在网格中画出所有满足条件的点D； （3）如图3，在单等对边四边形 中， ， ， ， ，若单等对边四边形 内有一点P，使四边形 为平行四边形，且 与四边形 的面积比为 ，求 的面积. 7．在平面直角坐标系 中，已知正方形 ，其中 ，M，N为该正方形外两点， ．给出如下定义：记线段MN的中点为P，平移线段MN得到线段 ，使点 分别落在正方形 的相邻两边上，或线段 与正方形的边重合（ 分别为点M，N，P的对应点），线段 长度的最小值称为线段MN到正方形 的“平移距离”． （1）如下图，平移线段MN，得到正方形 内两条长度为1的线段 ，则这两条线段的位置关系是　 　；若 分别为 的中点，在点 中，连接点P与点　 　的线段的长度等于线段MN到正方形 的“平移距离”； （2）如图，已知点 ，若M，N都在直线BE上，记线段MN到正方形 的“平移距离”为 ，求 的最小值； （3）若线段MN的中点P的坐标为 ，记线段MN到正方形 的“平移距离”为 ，直接写出 的取值范围． 8． （1）如图1，在正方形ABCD中，E为边BC上一点（不与点B、C重合），垂直于AE的一条直线MN分别交AB、AE、CD于点M、P、N．判断线段AE与MN之间的数量关系，并说明理由． （2）如图2，若垂足P恰好为AE的中点，连接BD，交MN于点Q，连接EQ，CQ（图中未连），判断线段EQ与CQ之间的数量关系，并说明理由． （3）在（2）的条件下延长EQ交边AD于点F．则∠AEF=　 　°； （4）如图3，若该正方形ABCD边长为8，将正方形沿着直线MN翻折，使得BC的对应边B′C′恰好经过点A，过点A作AG⊥MN，垂足分别为G，若AG＝5，请直接写出AC′的长　 　． 9．已知：如图，平行四边形ABCD中，AB＝5，BD＝8，点E、F分别在边BC、CD上（点E、F与平行四边形ABCD的顶点不重合），CE＝CF，AE＝AF． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）设BE＝x，AF＝y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域； （3）如果AE＝5，点P在直线AF上，△ABP是以AB为腰的等腰三角形，那么△ABP的底边长为　 　．（