解密16 一元二次不等式和基本不等式问题（讲义）-【高频考点解密】2023年高考数学二轮复习讲义+分层训练（新高考专用）

解密16 一元二次不等式和基本不等式问题 【考点解密】 一元二次不等式的解集 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象 方程ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根 有两相异实根x1，x2(x1<x2) 有两相等实根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集 {x|x<x1或x>x2} {x|x∈R} ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集 {x|x1< x<x2} ∅ ∅ 1．基本不等式：≤ (1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0. (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号． 2．几个重要的不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．(2)＋≥2(a，b同号)．(3)ab≤2 (a，b∈R)．(4)≥2 (a，b∈R)． 以上不等式等号成立的条件均为a＝b. 【方法技巧】 1．利用基本不等式求最值问题 已知a>0，b >0，则 (1)如果积a b是定值p，那么当且仅当a＝b时，a＋b有最小值2. (简记：积定和最小) (2)如果和a＋b是定值p，那么当且仅当a＝b时，ab有最大值. (简记：和定积最大) 2.利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”中的“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方，注意多次运用不等式，等号成立条件是否一致. 【核心题型】 题型一：含参数的一元二次不等式问题 1．（2022·全国·高三专题练习）已知集合，，若，则实数a的取值范围是 A． B． C． D． 2．（2023·全国·高三专题练习）若关于x的不等式的解集中恰有4个整数，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（2021·全国·高三专题练习）已知定义在上的函数满足，且当时，，则关于的不等式（其中）的解集为（    ） A． B．或 C． D．或 题型二：一元二次不等式根分布问题 4．（2021·全国·高三专题练习）已知若函数恰有5个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（2022·安徽·南陵中学校联考模拟预测）在区间上任取两个实数a，b，则方程有两个不同的非负根的概率为（    ） A． B． C． D． 6．（2023·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考一模）已知函数有两个不同的极值点，且不等式恒成立，则实数t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型三：一元二次不等式恒成立问题、 7．（2023·全国·高三专题练习）已知实数，满足如下两个条件：（1）关于的方程有两个异号的实根；（2），若对于上述的一切实数，，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（2022·浙江·模拟预测）已知函数，若对任意的实数x，恒有成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若，恒成立，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型四：一元二次不等式在某区间成立问题 10．（2017·天津·高考真题）已知函数设，若关于x的不等式在R上恒成立，则a的取值范围是 A． B． C． D． 11．（2022秋·湖北襄阳·高三）若命题“”为假命题，则实数x的取值范围为（    ） A． B． C． D． 12．（2022·四川攀枝花·统考二模）已知函数，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型五：基本不等式求积最大值问题 13．（2021·全国·统考高考真题）已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（    ） A．13 B．12 C．9 D．6 14．（2022·全国·高三专题练习）已知的外心为点O，M为边上的一点，且，则的面积的最大值等于（    ） A． B． C． D． 15．（2022·全国·高三专题练习）已知△ABC的三边分别为a，b，c，若满足a2+b2+2c2＝8，则△ABC面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 题型六：基本不等式求和最小值问题 16．（2021秋·江苏苏州·高三张家港高级中学校考期中）在中，为上一点，，为上任一点，若，则的最小值是 A．9 B．10 C．11 D．12 17．（2023·全国·高三专题练习）在平面四边形中，已知的面积是的面积的2倍.若存在正实数使得成立，则的最小值为（    ）