模型10 加权逆等线最值模型（讲+练）-备战2023年中考数学解题大招复习讲义（全国通用）

模型介绍 【模型总结】 R在求形如“QB+kPA”（k≠1）的式子最值问题时，关键是要通过相似三角形构造出与kPA相等的线段(即kPA=QC)，将QB +kPA”型问题转化为“QB +QC”型将军饮马问题．当k=1时，加权逆等线就变成了逆等线拼接最值模型，此种情况属于权为1的特殊情况，只需通过全等三角形构造出相等线段即可，然后将问题变为常见的将军饮马问题求解即可. R需要注意：这里的QB、PA两条线段的延长线方向必须要有交叉，方能通过相似或全等三角形得到kPA的等线段． 【解题方法】 R利用比例线段构造相似三角形转化线段，把双动点问题转化为单动点将军饮马问题，利用“两点之间线段最短”从而解出答案. 例题精讲 考点一:直角三角形中的加权逆等线模型 【例1】.如图，已知BC⊥AB，BC=AB=3,E为BC边上一动点，连接AE，D点在AB延长线上，且 CE=2BD,则AE+2CD的最小值为多少. 变式训练 【变式1-1】.如图，等腰直角△ABC中，斜边BC=2，点D、E分别为线段A B和B C上的动点，，求的最小值. 【变式1-2】.如图, 在Rt△ABC中, AC=6,BC=8,∠ACB=90。，点E、F分别是A B 、B C边上的动点, 且, 求CE+AF的最小值. 考点二:特殊平行四边形中的加权逆等线模型 【例2】.如图，在正方形ABCD中，AB=1，E、F分别为CB、DC上的动点，且BE=2DF,求DE+2AF 的最小值. 变式训练 【变式2-1】.如图，在矩形ABCD中，AD=4,AB=，点E、F分别是BD,BC上的一动点，且BF=2DE， 则AF+2AE的最小值为多少？ 【变式2-2】.如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，CD＝4，M，N分别是边AB，AD的动点，满足AM＝DN，连接CM、CN，E是边CM上的动点，F是CM上靠近C的四等分点，连接AE、BE、NF，当△CFN面积最小时，BE+AE的最小值为 　 　． 实战演练 1.如图,等腰 ，D、E分别是 AB、BC边上的动点,且满足 , 求的最小值. 2.如图，M为矩形ABCD中AD边中点，E、F分别为BC、CD上的动点，且BE＝2DF，若AB＝1，BC＝2，则ME+2AF的最小值为　 　． 3．如图，在正方形ABCD中，P为AD上一点，且，E、F分别为CD、BC上的动点，且BF＝3DE，若AD=3，求PF+3AE的最小值． 4．如图，在Rt△ACB，∠BCA＝90°，∠A＝30°，AC＝，点D在线段AB上，点E在线段AB的延长线上，且BE＝AD，则CE+CD的最小值是　 　． 5．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点P在边AD上，点Q在边BC上，且AP＝CQ，连接CP，QD，则PC+QD的最小值等于 　 　． 6．如图，平行四边形ABCD，AB＞AD，AD＝4，∠ADB＝60°，点E、F为对角线BD上的动点，DE＝2BF，连接AE、CF，则AE+2CF的最小值为 　 　． 7．问题提出： （1）如图①，在正方形ABCD中，E为边AB上一点（点E不与点A、B重合），连接DE，过点A作AF⊥DE，交BC于点F，则DE与AF的数量关系是：DE　 　AF； 问题探究： （2）如图②，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点E、F分别在边AB、CD上，点M为线段EF上一动点，过点M作EF的垂线分别交边AD、BC于点G、点H．若线段EF恰好平分矩形ABCD的面积，且DF＝1，求GH的长； 问题解决： （3）如图③，在正方形ABCD中，M为AD上一点，且，E、F分别为BC、CD上的动点，且BE＝2DF，若AB＝4，求ME+2AF的最小值． 8．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝6，AC＝8，D、E分别为边AC、AB上两个动点． （1）如图1，若D为AC中点，且DE平分△ABC的周长； ⅰ）求AE﹣BE的值； ⅱ）求证：∠AED＝30°，并直接写出DE的值； （2）如图2，若AE＝CD，连接BD、CE，求BD+CE的最小值． 9．如图1，在▱ABCD中．AB＝6．AC与BD交于点O，点E，F分别是线段AC，CD上的动点（点E，F不与A，C，D重合）．AE＝CF．设∠ACD＝a，将线段AD绕点A按逆时针方向旋转a得到AP，连接PE，BE，BF． （1）求证：△APE≌△CBF： （