模型汇总：四边形的五大模型（45题）（讲+练）-【重要笔记】2022-2023学年八年级数学下册重要考点精讲精练（人教版）

【模型汇总】 四边形的五大模型（45题） 模型1：中点四边形模型 常用方法：连接中点或连接对角线，构造三角形的中位线； 1．如图，已知在四边形中，AC⊥BD交于点O，E、F、G、H分别是四边上的中点，求证：四边形EFGH是矩形． 2．已知：依次连接任意四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形．请填空： ①　 　四边形的中点四边形是平行四边形； ②　 　的四边形的中点四边形是矩形； ③　 　的四边形的中点四边形是菱形； ④　 　的四边形的中点四边形是正方形． 3．如图，矩形ABCD的长为4，宽为3，连续取三次中点后的最小四边形的面积是多少？ 4．在四边形ABCD中，E、G分别是AD、BC的中点，F、H分别是BD、AC的中点． （1）当AB、CD满足什么条件时，四边形EFGH是矩形？ （2）当AB、CD满足什么条件时，四边形EFGH是菱形？ （3）当AB、CD满足什么条件时，四边形EFGH是正方形？ 5．已知四边形ACBD，若AD∥BC，且DB＝AC，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD的中点，求证：EG＝（BC﹣AD）． 6．如图，点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，点O是△ABC内一点，连接OA，OB，OC，点F，G分别是OB，OC的中点，顺次连接点D，F，G，E． （1）求证：四边形DFGE是平行四边形； （2）当OA⊥DE时，求证：四边形DFGE是矩形； （3）若四边形DFGE是正方形，OA与BC之间满足的条件是：　OA⊥BC且OA＝BC　． 7．已知四边形ABCD是矩形． （1）如图1，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD的中点，求证：四边形EFGH是菱形； （2）如图2，若菱形EFGH的三个顶点E，F，H分别在边AB，BC，AD上，连接CG．已知BE＝2AE＝8，CG＝2，CF﹣BF＝1，求AD的长． 8．如图，在矩形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点．求证：四边形EFGH是菱形． 9．已知：如图，四边形ABCD四条边上的中点分别为E、F、G、H，顺次连接EF、FG、GH、HE，得到四边形EFGH（即四边形ABCD的中点四边形）． （1）四边形EFGH的形状是 　 　，证明你的结论； （2）当四边形ABCD的对角线满足 　 　条件时，四边形EFGH是矩形； （3）你学过的哪种特殊四边形的中点四边形是矩形？　 　． 10．D、E分别是不等边三角形ABC（即AB≠BC≠AC）的边AB、AC的中点．O是△ABC平面上的一动点，连接OB、OC，G、F分别是OB、OC的中点，顺次连接点D、G、F、E． （1）如图，当点O在△ABC内时，求证：四边形DGFE是平行四边形； （2）若四边形DGFE是菱形，点O所在位置应满足什么条件？（直接写出答案，不需说明理由．） 11．如图，四边形ABCD中，点E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点， （1）求证：中点四边形EFGH是平行四边形； （2）如图2，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA＝PB，PC＝PD，∠APB＝∠CPD，点E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想． 模型2：十字架模型： 条件：几何图形中有互相垂直的两条线段 技巧：做辅助线构造全等三角形（直角三角形） 12．如图，正方形ABCD中，点P，Q分别为CD，AD边上的点，且DQ＝CP，连接BQ，AP．求证：BQ⊥AP． 13．已知正方形ABCD，点E、F分别是AD、AB边上的点，且BE⊥CF； （1）求证：CF＝BE； （2）如图（b），MN和EF是夹在正方形两组对边间的线段，且MN⊥EF，那么MN与EF相等吗？请简要说明你的判断思路，若需添加辅助线说明，请在（b）中画出． 14．在正方形ABCD中，P是边BC上一动点（不与点B、C重合），E是AP的中点， 过点E作MN⊥AP，分别交AB、CD于点M，N． （1）判定线段MN与AP的数量关系，并证明； （2）连接BD交MN于点F． ①根据题意补全图形； ②用等式表示线段ME，EF，FN之间的数量关系，直接写出结论 　EF＝EM+FN　． 15．如图1，P为正方形ABCD的边BC上一动点（P与B、C不重合），点Q在CD边上，且BP＝CQ，连接AP、BQ交于点E． （1）求证：AP⊥BQ； （2）当P运动到BC中点处时（如图2），连接DE，请你判断线段DE与AD之间的关系，并说明理由； （3）如图3，在（2）的条件下，过A点作AM⊥DE于点H，交BQ、CD于点N、M，若AB＝2，求QM的长度． 16．已知：正方形ABCD． （1）如图①，E，F分别是边CD