第六章 平面向量及其应用章末总结（讲+练）-【高分突破系列】2022-2023学年高一数学同步讲练测（人教A版2019必修第二册）

第六章 平面向量及其应用章末总结 目 录 速 览 第一部分：单元知识思维导图 第二部分：重点知识方法技巧归纳总结 第三部分：必会技能常考题型及思想方法纳 第四部分：配套必刷好题 必会题型一：向量的加减及数乘运算 必会题型二：平面向量基本定理及数量积 必会题型三：平面向量坐标表示 必会题型四：正余弦定理 必会题型五：平面向量综合 第一部分：单元知识思维导图 第二部分：重点知识方法技巧归纳总结 1．向量的表示方法 (1)几何表示法：用带箭头的有向线段表示． (2)字母表示法：用一个小写的黑体英文字母来表示，如等；用有向线段的起点字母与终点字母表示，如，注意起点在前，终点在后． (3)坐标表示法：在平面直角坐标系中，设与轴、轴方向相同的两个单位向量分别为，取作为基底，则平面内的任一向量可表示为，称为向量的坐标．如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同．若，则，． 2．向量的运算： 向量的加减法、向量的数乘、向量的数量积(内积)及其各运算的坐标表示和性质如下表： 运算类型 几何方法 坐标表示 运算性质(运算律) 向量的加法 平行四边形法则； 三角形法则 (交换律)； (结合律)； 向量的减法 三角形法则：由减向量的终点指向被减向量的终点 向量的数乘 是一个向量，满足： (1) (2)当时， 与同向；当时，与异向；当时， 向量的数量积 与的数量积．，即等于的模与在的方向上的投影的乘积 3．判断向量共线(平行)的方法 (1)两向量方向相同或相反； (2)向量与非零向量共线存在唯一一个实数，使； (3)向量与共线； (4)向量与共线． 4．向量垂直的判断：对于非零向量． 5．向量夹角的计算：设非零向量的夹角为，则． 6．向量模的计算 (1)由有向线段的长度直接得到． (2)利用向量的坐标表示：[其中． (3)平方法： 7．证明三点共线 (1)三点共线：由三个点中任意两个点为端点构造两个不同的向量，如，证明两个向量满足向量共线定理，即存在唯一实数，使或成立． (2)三点共线存在实数，使得平面上另一点满足且． 8．用向量方法解决平面几何问题 通过向量的运算(包括运算的坐标表示)可以解决平面几何中的平行、垂直、长度、角度等问题，关键是掌握向量中的相关公式． 用向量解决平面几何问题有两种方法：一是选取基底，利用向量的运算法则、运算律或性质计算；二是建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题转化为代数运算． 9．用向量方法解决物理问题 向量在物理中的应用，实际上是把物理问题转化为向量问题，然后通过向量运算解决向量问题，最后再用获得的结果解释物理现象．要注意两个方面：一是通过实例，体会如何把物理问题转化成数学问题，即如何将物理量之间的关系抽象成数学模型；另一方面是如何利用数学模型的解来解释相应的物理现象． 10．向量中一些常用的结论 (1)一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量． (2)． 特别地，当同向或中至少有一个为0时，； 当反向或中至少有一个为0时，； 当不共线时，||． (3)中有如下重要结论： ①重心：设是所在平面内一点，则是重心的条件是或(其中为平面内任意一点)． ②垂心：向量所在的直线过的垂心(在边上的高所在的直线上)． 设是所在平面内的一点，则是垂心的条件是． ③内心：向量所在直线过的内心(在的平分线所在的直线上)．设是所在平面内的一点，为内心的条件是或(是的内角所对边的边长，为平面上任意一点)． ④外心：设是所在平面内的一点，则为外心的条件是(点到三个顶点的距离相等，或．． 11．解三角形中常用的条件 正弦定理、余弦定理的作用是进行三角形中的边角互化．一般地，当题中含有二次项时，常使用余弦定理．在变形时，注意三角形中其他条件的运用： (1)三个内角和为． (2)两边之和大于第三边，两边之差小于第三边． (3)“大边对大角”“等边对等角”． (4)面积公式：． (5)，． (6)． (7)若为锐角三角形，则． 12．解三角形的常见类型 正弦定理、余弦定理的每一个等式中都包含三角形的四个元素(三角形有三个角和三条边，三角形的边与角称为三角形的元素)，如果其中三个元素是已知的(至少要有一个元素是边)，那么这个三角形一定可解．关于三角形的解法，根据已知条件及适用的定理，可以归纳为以下四种类型(设三角形为，角所对的边分别为： 已知两角及其中一角的对边，如， (1)由，求； (2)根据正弦定理，得及，求． 如果已知的是两角和它们的夹边，如，，那么同样先求第三个角，然后根据正弦定理，得及，求 已知两边和它们的夹角，如 (1)根据余弦定理，求； (2)根据，求； (3)根据，求． 求出第三边后，常用正弦定理求角，这样可以使计算简便．运用正弦定理求角时，为