7.1 两个基本计数原理（八大题型）-2022-2023学年高二数学新教材同步配套教学讲义（苏教版2019选择性必修第二册）

7.1 两个基本计数原理 【题型归纳目录】 题型一：分类加法计数原理 题型二：分步乘法计数原理 题型三：两个原理的综合应用 题型四：组数问题 题型五：占位模型中标准的选择 题型六：涂色问题 题型七：种植问题 题型八：列举法 【知识点梳理】 知识点一：分类加法计数原理（也称加法原理） 1、分类加法计数原理： 完成一件事，有类办法．在第1类办法中有种不同方法，在第2类办法中有种不同的方法，……，在第类办法中有种不同方法，那么完成这件事共有种不同的方法． 2、加法原理的特点是： ①完成一件事有若干不同方法，这些方法可以分成n类； ②用每一类中的每一种方法都可以完成这件事； ③把每一类的方法数相加，就可以得到完成这件事的所有方法数． 知识点诠释： 使用分类加法计数原理计算完成某件事的方法数，第一步是对这件事确定一个标准进行分类，第二步是确定各类的方法数，第三步是取和． 知识点二、分步乘法计数原理 1、分步乘法计数原理 “做一件事，完成它需要分成n个步骤”，就是说完成这件事的任何一种方法，都要分成n个步骤，要完成这件事必须并且只需连续完成这n个步骤后，这件事才算完成． 2、乘法原理的特点： ①完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可； ②完成每一步有若干种方法； ③把每一步的方法数相乘，就可以得到完成这件事的所有方法数． 知识点诠释： 使用分步乘法计数原理计算完成某件事的方法数，第一步是对完成这件事进行分步，第二步是确定各步的方法数，第三步是求积． 知识点三、分类计数原理和分步计数原理的区别： 1、分类计数原理和分步计数原理的区别： 两个原理的区别在于一个和分类有关，一个和分步有关． 完成一件事的方法种数若需“分类”思考，则这n类办法是相互独立的，且无论哪一类办法中的哪一种方法都能单独完成这件事，则用加法原理； 若完成某件事需分n个步骤，这n个步骤相互依存，具有连续性，当且仅当这n个步骤依次都完成后，这件事才算完成，则完成这件事的方法的种数需用乘法原理计算． 知识点四、分类计数原理和分步计数原理的应用 1、利用两个基本原理解决具体问题时的思考程序： （1）首先明确要完成的事件是什么，条件有哪些？ （2）然后考虑如何完成？主要有三种类型 ①分类或分步． ②先分类，再在每一类里再分步． ③先分步，再在每一步里再分类，等等． （3）最后考虑每一类或每一步的不同方法数是多少？ 【典型例题】 题型一：分类加法计数原理 【方法技巧与总结】 应用分类加法计数原理应注意如下问题 （1）明确题目中所指的“完成一件事”是什么事，完成这件事可以有哪些方法，怎样才算是完成这件事． （2）无论哪类方案中的哪种方法都可以独立完成这件事，而不需要再用到其他的方法，即各类方法之间是互斥的，并列的，独立的． 例1．（2022·全国·高三专题练习）书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书.从书架上任取1本书，不同的取法有__________种. 【答案】9 【解析】由题意，若从第一层取书，则有4种不同的取法， 若从第二层取书，则有3种不同的取法， 若从第三次取书，则有2种不同的取法， 所以不同的取法有种. 故答案为：9. 例2．（2022·全国·高三专题练习）如图，一条电路从A处到B处接通时，可以有_____________条不同的线路（每条线路仅含一条通路）． 【答案】 【解析】依题意按上、中、下三条线路可分为三类， 上线路中有种， 中线路中只有种， 下线路中有（种． 根据分类计数原理，共有（种． 故答案为：． 例3．（2022·全国·高三专题练习）某大学开设选修课，要求学生根据自己的专业方向以及自身兴趣从6个科目中选择3个科目进行研修．已知某班级a名学生对科目的选择如表所示，则的一组值可以是______． 科目 国际金融 统计学 市场管理 历史 市场营销 会计学 人数 24 28 14 15 19 b 【答案】（答案不唯一，为正整数且满足即可） 【解析】依题意，， 即，是满足该式的正整数即可． 故答案为：（答案不唯一，为正整数且满足即可） 变式1．（2022·广东·佛山市顺德区郑裕彤中学高二期中）某校高三有三个班，分别有学生50人、50人、52人.从中选一人担任学生会主席，共有_____一种不同选法. 【答案】152 【解析】有三个班，分别有学生50人、50人、52人.从中任选一人有：50+50+52=152种方法. 故答案为：152 题型二：分步乘法计数原理 【方法技巧与总结】 利用分步乘法计数原理解题的一般思路 （1）分步：将完成这件事的过程分成若干步． （2）计数：求出每一步中的方法数． （3）结论：将每一步中的方法数相乘得最终结果． 例4．（2022·全国·高三专题练习）直线方程，