第一次月考重难点特训（二）之勾股定理与全等三角形结合的压轴题-2022-2023学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（人教版）

第一次月考重难点特训（二）之勾股定理与全等三角形结合的压轴题 【重难点题型】 1．（2023·全国·九年级专题练习）综合与实践． 勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对它的证明颇感兴趣，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者． (1)我国汉代数学家赵爽创制了一幅如图1所示的用4个全等的直角三角形拼成的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．在中，，若，，，请你利用这个图形说明． (2)业余数学爱好者向常春在年构造发现了一个新的证法：把两个全等的和按如图2所示的方式放置，，，，．请你利用这个图形说明．(提示：连接，) 【答案】(1)说明见解析 (2)说明见解析 【分析】（1）根据大正方形的面积等于4个直角三角形的面积加上小正方形的面积即可得出结论； （2）连接，，根据四边形的面积，又四边形的面积，根据的面积四边形的面积四边形的面积，得出等量关系，进而得证． 【详解】（1）∵大正方形面积为，直角三角形面积为，小正方形面积为， ∴， 即； （2）连接，， ， ，， ， ， ， ∵四边形的面积， 四边形的面积， 的面积四边形的面积四边形的面积， ∴． 【点睛】本题考查了勾股定理的证明，掌握等面积法证明勾股定理是解题的关键． 2．（2023春·八年级课时练习）如图（1）和为两个全等的等边三角形，边和的中点重合与点，直线交直线于点． (1)求证：； (2)若，是判断、、的数量关系； (3)若，请直接写出的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 (3) 【分析】（1）连接和，由，，得到，再由得到，从而得到即可得到答案； （2）连接，作交延长线于点，由（1）可知，再通过证明，得到，从而得到为等腰直角三角形，即可得到答案； （3）当点在内部，且平分时，的值最小，延长交于，此时，由等边三角形三线合一得出，，由勾股定理得出，通过证明可得到，，连接和，通过证明，再通过角度的转化，从而得到，进而得到，最后得出了的最小值． 【详解】（1）证明：连接和， ，， ， ， ， ， ，即． （2）解：连接，作交延长线于点， 由（1）可知， ， ， ， 即， ， ， （ASA）， ， 为等腰直角三角形， ． （3）解：如图所示，当点在内部，且平分时，的值最小，延长交于，此时， 平分，为等边三角形， ，， ， 边和的中点重合与点， ， ， 在和中， ， （SAS）， ，， ， 连接和， ， ，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， 最小值等于． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质三角形全等的判定与性质，勾股定理，解题的关键是作出适当的辅助线，熟练掌握等边三角形的性质以及三角形全等的判定与性质． 3．（2023秋·河南南阳·八年级统考期末）我们把“同一图形的面积，用两种不同的方法求出的结果相等，从而构建等式，根据等式解决相关问题”的方法称为“面积法”． (1)通过如图①中图形的面积关系，直接写出一个多项式进行因式分解的等式：______； (2)“面积法”还可以作为几何证明的工具，当两个全等的直角三角形摆放成如图②所示时，其中，借助图中辅助线用两种不同方法表示四边形的面积，易得：______；______，构建等式整理可得：； (3)如图③，在中，，，P为边上的任一点，过点P作，，垂足分别为M、N，连接，利用“面积法”求的值． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）用两种不同的方法表示左上角正方形的面积，即可求解； （2）根据三角形的面积公式表示即可； （3）过A作于点H，由等腰三角形三线合一可得，根据勾股定理可得，再由进行求解即可． 【详解】（1）解：左上角正方形的面积可以表示为，也可以表示为： 即， 故答案为：； （2）解：， 故答案为：，． （3）解：如图，过A作于点H， ∵， ∴， ∴由勾股定理得，． ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了几何图形与整式乘法，三角形的面积的计算，等面积法的应用，等腰三角形的性质以及勾股定理，解本题的关键在熟练掌握等面积法的应用． 4．（2023秋·河北石家庄·八年级石家庄市第二十二中学校考期末）【阅读材料】小高同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶点的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等的三角形，小高把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形． 【材料理解】 (1)如图1，在“手拉手”图形中，小高发现若，，，则，请证明小高的发现． 【深入探究】 (2)如图2，，，，试探索线段，，之间满足的等量关系，并证明结论； 【延伸应用】 (3)①如图3，在四边形中，，，，与的数量关系为：________（直接写出答案，不需要说明理由）； ②如图4，在四边形中，，若，，则的长为________（直接写出答案，不需要说明理由）． 【答案