专题04 空间向量基本定理（重点突围）-【学霸满分】2022-2023学年高二数学下学期重难点专题提优训练（苏教版2019选择性必修第二册）

04 空间向量基本定理 目录 ☆【题型一】空间向量基本定理 1 ☆【题型二】基底的判断 2 ☆【题型三】用基底表示向量 3 ☆【题型四】空间向量基本定理的应用：证明线线垂直 4 ☆【题型五】空间向量基本定理的应用：求线段长或向量的模 5 ☆【题型六】【题型七】空间向量基本定理的应用：求两条直线所成角的余弦值 5 ☆【题型一】空间向量基本定理 【例题】如图，O为△ABC所在平面外一点，M为BC的中点，若＝λ与＝＋＋同时成立，则实数λ的值为________． 【变式训练】 1．已知四面体O－ABC，G1是△ABC的重心，G是OG1上一点，且OG＝3GG1，若＝x＋y＋z，则(x，y，z)为(　　) A. B. C. D. 2．如图，已知空间四边形ABCD中，＝a－2c，＝5a＋6b－8c，对角线AC，BD的中点分别为E，F，则＝________.(用向量a，b，c表示) 3．如图所示，平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，且BE＝BB1，DF＝DD1.若＝x＋y＋z，则x＋y＋z等于(　　) A．－1 B．0 C. D．1 ☆【题型二】基底的判断 【例题】已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3，试判断{，，}能否作为空间的一个基底． 【变式训练】 1．(多选)设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底，则下列向量组中，可以作为空间一个基底的向量组有(　　) A．{a，b，x} B．{x，y，z} C．{b，c，z} D．{x，y，a＋b＋c} 2．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，可以作为空间向量的一个基底的是(　　) A.，， B.，， C.，， D.，， 2．若为空间的一个基底，则下列各组向量中一定能构成空间的一个基底的是______．（填序号） ①，，； ②，，；③，，； ④，，． ☆【题型三】用基底表示向量 【例题】如图，在正方体中，点E是AB与OD的交点，M是与CE的交点，试分别用向量，，表示向量和． 【变式训练】 1．如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量： (1)；(2)；(3). 2．如图，四棱锥POABC的底面为一矩形，PO⊥平面OABC，设＝a，＝b，＝c，E，F分别是PC和PB的中点，试用a，b，c表示，，，. 3．三棱柱ABC－A1B1C1中，若＝a，＝b，＝c，则等于(　　) A．a＋b－c B．a－b＋c C．－a＋b＋c D．－a＋b－c 4．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，用，，作为基向量，则＝________________. 5．如图，在空间四边形OABC中，已知E是线段BC的中点，G在AE上，且，试用向量，，表示向量． ☆【题型四】空间向量基本定理的应用：证明线线垂直 【例题】如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点，求证：EF⊥AB1. 【变式训练】 1．如图，已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱垂直于底面，∠BAC＝90°. 求证：AB⊥AC1. ☆【题型五】空间向量基本定理的应用：求线段长或向量的模 【例题】如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA的长为2，且PA与AB，AD的夹角都等于60°.若M是PC的中点，则||等于(　　) A. B. C. D. 【变式训练】 1．如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条边的长度都为1，且两两夹角为60°. 求AC1的长． ☆【题型六】【题型七】空间向量基本定理的应用：求两条直线所成角的余弦值 【例题】如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若E为D1C1的中点，则与夹角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 【变式训练】 1．如图，已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为________． 2．如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条边的长度都为1，且两两夹角为60°. 求BD1与AC所成角的余弦值． 3．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，若AA1＝AB＝2，AD＝1，E，F，G分别是DD1，AB，CC1的中点，则异面直线A1E，FG所成的角为________． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $ 04 空间向量基本定理 目