备战2023年中考数学--知识点考点复习17-- 圆

第十七讲 圆 【知识点梳理】 圆的有关概念 1．与圆有关的概念和性质 1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形． 2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦． 3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧． 4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角． 5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角． 6）弦心距：圆心到弦的距离． 2．注意 1）经过圆心的直线是该圆的对称轴，故圆的对称轴有无数条； 2）3点确定一个圆，经过1点或2点的圆有无数个． 3） 任意三角形的三个顶点确定一个圆，即该三角形的外接圆． 垂径定理及其推论 1．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合，解题时往往需要添加辅助线，一般过圆心作弦的垂线，构造直角三角形． 2．推论 1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； 2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧． 圆心角、弧、弦的关系 1．定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．圆心角、弧和弦之间的等量关系必须在同圆等式中才成立． 2．推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 圆周角定理及其推论 1．定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． 2．推论：1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等． 2）直径所对的圆周角是直角． 圆内接四边形的对角互补．在圆中求角度时，通常需要通过一些圆的性质进行转化．比如圆心角与圆周角间的转化；同弧或等弧的圆周角间的转化；连直径，得到直角三角形，通过两锐角互余进行转化等． 与圆有关的位置关系 1．点与圆的位置关系 设点到圆心的距离为d．(1)d<r⇔点在⊙O内；(2)d=r⇔点在⊙O上；(3)d>r⇔点在⊙O外． 判断点与圆之间的位置关系，将该点的圆心距与半径作比较即可． 2．直线和圆的位置关系 位置关系 相离 相切 相交 图形 公共点个数 0个 1个 2个 数量关系 d>r d=r d<r 由于圆是轴对称和中心对称图形，所以关于圆的位置或计算题中常常出现分类讨论多解的情况． 切线的性质与判定 1．切线的性质 1）切线与圆只有一个公共点．2）切线到圆心的距离等于圆的半径．3）切线垂直于经过切点的半径． 利用切线的性质解决问题时，通常连过切点的半径，利用直角三角形的性质来解决问题． 2．切线的判定 1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）． 2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线． 3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 切线判定常用的证明方法：①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径． 三角形与圆 1．三角形的外接圆相关概念 经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形．外心是三角形三条垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等． 2．三角形的内切圆 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．内心是三角形三条角平分线的交点，它到三角形的三条边的距离相等． 正多边形的有关概念 正多边形中心：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心． 正多边形半径：正多边形外接圆的半径叫做正多边形半径． 正多边形中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形中心角． 正多边形边心距：正多边形中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． 与圆有关的计算公式 1．弧长和扇形面积的计算：扇形的弧长l=；扇形的面积S==． 2．圆锥与侧面展开图 1）圆锥侧面展开图是一个扇形，扇形的半径等于圆锥的母线，扇形的弧长等于圆锥的底面周长． 2）若圆锥的底面半径为r，母线长为l，则这个扇形的半径为l，扇形的弧长为2πr， 圆锥的侧面积为S圆锥侧=．圆锥的表面积：S圆锥表=S圆锥侧+S圆锥底=πrl+πr2=πr·（l+r）． 在求不规则图形的面积时，注意利用割补法与等积变化方法归为规则图形，再利用规则图形的公式求解． 【考点梳理】 考向一：圆的有关概念 1．下列语句中，正确的有（   ） A．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等 B．平分弦的直径垂直于弦 C．三角形的外心是三条角平分线的交点 D．圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴 2．如图，是的直径，是弦，，连接，，则所对的圆心角的度数为（    ） A． B． C． D． 3．如图，是的弦，点在过点的切线上，且，交于