备战2023年中考数学--知识点考点复习16-- 锐角三角函数与解直角三角形

第16讲 锐角三角函数与解直角三角形 【知识点梳理】 锐角三角函数的定义 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b， 正弦：sinA=；余弦：cosA=；正切：tanA=． 根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助线来构造直角三角形. 特殊角的三角函数值 α sinα cosα tanα 30° 45° 1 60° 解直角三角形 1．在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形． 2．解直角三角形的常用关系：在Rt△ABC中，∠C=90°，则：1）三边关系：a2+b2=c2； 2）两锐角关系：∠A+∠B=90°；3）边与角关系：sinA=cosB=，cosA=sinB=，tanA=； 4）sin2A+cos2A=1． 3．科学选择解直角三角形的方法口诀： 已知斜边求直边，正弦、余弦很方便；已知直边求直边，理所当然用正切； 已知两边求一边，勾股定理最方便；已知两边求一角，函数关系要记牢； 已知锐角求锐角，互余关系不能少；已知直边求斜边，用除还需正余弦. 解直角三角形的应用 1）．仰角和俯角 仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角． 俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角． 2）．坡度和坡角 坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i=． 坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，i=tanα．坡度越大，α角越大，坡面越陡． 3)．方向角（或方位角） 指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角． 4．解直角三角形中“双直角三角形”的基本模型： 【考点梳理】 考向一：锐角三角函数的定义 1．把的三条边的长度都扩大为原来的4倍，则锐角的正弦值（    ） A．不变 B．扩大为原来的4倍 C．缩小为原来 D．无法确实 2．在中，，，，下列四个选项，正确的是（　　） A． B． C． D． 3．如图，△ABC中，CD⊥AB，∠A=45°，∠B=60°，，则BC的长为（   ） A． B． C．2 D．4 4．在中，．若，，则的值为（    ） A． B． C． D．3 5．在Rt△ABC中，，，，则的值为(   ) A． B． C． D． 6．如图，某商场准备将自动扶梯改造成斜坡式.已知商场的层高为6m，为，改造后扶梯的坡比是，则改造后扶梯相比改造前增加的长度是（ 　 ） A．6m B．m C．m D．m 考向二：特殊角的三角函数值 1．cos30°的值是（　　） A． B．1 C． D． 2．如图，在△ABC中．∠ACB＝90°，∠ABC＝15°，BC＝1，则AC＝（　　） A． B． C．0.3 D． 3．计算：tan60°+2sin45°﹣2cos30°的结果是（　　） A．2 B． C． D．1 4．当x＝cot60°时，代数式的值是（　　） A． B． C． D． 考向三：解直角三角形 1．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是BC边上的中线，∠C＝45°，sinB＝，AD＝1． （1）求BC的长；（2）求tan∠DAE的值． 2．已知：BD是四边形ABCD的对角线，AB⊥BC，∠C＝60°，AB＝1，BC＝3+，CD＝2 （1）求∠ABD的值；（2）求AD的长． 3．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（m，n）为第一象限内一点，过点A分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为点B，点C，作△OAB关于直线OA的对称图形△OAB′． （1）当n＝4时， ①若点B′落在y轴上，则m＝　 　； ②若点B′落在第一象限内，且tan∠CAB′＝，求m的值； （2）设△OAB′与四边形OBAC重合部分的面积为S，若S为四边形OBAC面积的，求的值． 4．已知：△ABC中，AB＝AC，D为直线BC上一点． （1）如图1，BH⊥AD于点H，若AD＝BD，求证：BC＝2AH． （2）如图2，∠BAC＝120°，点D在CB延长线上，点E在BC上且∠DAE＝120°，若AB＝6，DB＝2，求CE． （3）如图3，D在CB延长线上，E为AB上一点，且满足：∠BAD＝∠BCE，＝，若tan∠ABC＝，BD＝5，直接写出BC的长为　 　． 考向四：解直角三角形的应用 1．在新冠肺炎疫情最严重的时节，从2020年1月24日到2月2日，经过武汉火神山医院7500名建设者夜以继日地建设．这座可以容纳1000张床位的专用医院仅仅用了10天就建成了，图1所示是建筑师傅正在对长方体型集装箱房进行起吊任务，其示意图如图2所示，建筑师傅通过操纵机械臂（