备战2023年中考数学--知识点考点复习13-- 勾股定理

第十三讲 勾股定理 【知识点梳理】 勾股定理 1.勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．如果直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，那么． （1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系． （2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的． （3）理解勾股定理的一些变式：，， ． 2.勾股定理的证明 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形． 在图（1）中 方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形． 在图（2）中，所以． 方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形． 在图（3）中， 。 勾股定理的逆定理 1.勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. 2.应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤： （1）首先确定最大边，不妨设最大边长为； （2）验证：与是否具有相等关系：若，则△ABC是以∠C为90°的直角三角形； 若时，△ABC是锐角三角形；若时，△ABC是钝角三角形． 3.勾股数：满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形。 4.常见的勾股数：①3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41. 如果()是勾股数，当t为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直 角三角形. 观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数，它们具有以下特征： （1）较小的直角边为连续奇数； （2）较长的直角边与对应斜边相差1. （3）假设三个数分别为，且，那么存在成立.（例如④中存在＝24＋25、＝40＋41等） 勾股定理的应用 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是： （1）已知直角三角形的两边，求第三边； （2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题； （3）解决与勾股定理有关的面积计算； （4）勾股定理在实际生活中的应用． 【考点梳理】 考向一：勾股定理 1．如图，中，为的中点，在上，且．若，，则的长度为（   ） A． B． C． D． 2．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边cm，cm，现将沿直线折叠，使点C落在斜边上的点E处，则的长为（    ）cm． A． B． C．3 D． 3．如图，在中，，，的平分线交于点．若，则的长为（    ） A． B． C． D． 4．如图，三角形中， 若， ，则线段（      ） A．2 B． C．4 D． 5．如图，在中，，点为边AB的中点，，交AC于点E，DF交BC于点．若，，则EF的长为（    ） A． B．5 C． D．13 考向二：勾股定理的逆定理 1．下列长度的三条线段，能组成直角三角形的是（　　） A．2，3，4 B．2，3，5 C．3，4，5 D．2，4，5 2．如图，和的顶点均在边长为1的小正方形网格格点上，则的度数为（　　） A． B． C． D．无法计算 3．若a，b，c为三角形的三边，则下列各组数据中，不能组成直角三角形的是（　　） A．a＝8，b＝15，c＝17 B．a＝3，b＝5，c＝4 C．a＝4，b＝8，c＝9 D．a＝9，b＝40，c＝41 4．下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（　　） A．1，，3 B．10，15，20 C．，3，4 D．2，3，4 5．下列各组数中以a，b，c为边的三角形是直角三角形的是（    ） A．a＝2，b＝3，c＝4 B．a＝1，b＝1， C．a＝6，b＝10，c＝8 D．a＝3，b＝4， 考向三：勾股定理的应用 1．如图，某渔船在海面上朝正东方向匀速航行，在A处观测到灯塔M在北偏东60°方向上，且海里．那么该船要到达离灯塔距离最近的位置需继续航行（　　） A．50海里 B．海里 C．65海里 D．75海里 2．一艘渔船从港口沿北偏东60°方向航行60海里到达处时突然发生故障，位于港口正东方向的处的救援艇接到信号后，立即沿北偏东45°方向以40海里/小时的速度前去救援，救援艇到达处所用的时间为（    ） A．小时 B．小时 C．小时 D．小时 3．如图，在长方体盒子中，已知，长为的细直木棒恰好从小孔G处插入，木棒的一端I与底面接触，当木棒的端点I在长方形内及边界运动时，长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．如图，一根木杆在离地面处折断，木杆顶端落在离木杆底端处，木杆折断之前的高度是（    ） A． B． C． D． 5．一架长为10米的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为6米，如果梯子的顶端沿墙壁下滑1米，那么梯子的底端向后滑动的距离（ ） A．等于1