6.4.3.3余弦定理、正弦定理应用举例（讲+练）-【高分突破系列】2022-2023学年高一数学同步讲练测（人教A版2019必修第二册）

6.4.3.3 余弦定理、正弦定理应用举例 目 录 速 览 第一部分：考点梳理知识方法技巧总结 第二部分：必会技能常考题型及思想方法 第三部分：配套必刷好题 必会题型一：测量角度、高度及距离问题 必会题型二：几何图形中的计算 必会题型三：求范围最值问题 必会题型四：余弦定理、正弦定理综合应用 第一部分：考点梳理知识方法技巧总结 必会知识一 解三角形应用题的基本思路与基本步骤 1．建模思想 解三角形应用题时，通常都要根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得到实际问题的解，这就是数学建模思想． 2．基本思路 解三角形应用题的基本思路如图6-4．3．3-1． 3．基本步骤 运用正弦定理、余弦定理解决实际问题的基本步骤如下： (1)分析，理解题意，弄清已知与末知，画出示意图(一个或几个三角形)； (2)建模，根据已知条件与求解目标，把已知量与待求量尽可能地集中在有关三角形中，建立一个解三角形的数学模型； (3)求解，利用正弦定理、余弦定理有序地解这些三角形，求得数学模型的解； (4)检验，检验上述所求的解是否符合实际问题，从而得出实际问题的解． 【名师点睛】(1)解三角形应用题时，由于具体问题中给出的数据通常为有效近似值，因此运算过程较为复杂，可以借助计算器进行运算，当然还应注意算法简练、算式工整、计算准确等要求． (2)三角形应用题一般有两种类型： ①已知量与末知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理求解； ②已知量或末知量涉及两个或多个三角形，这时需要选择条件充足的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解． 必会知识二 解三角形应用题的主要类型及方法 1．测量距离问题 利用正弦定理、余弦定理可以求从一个可以到达的点到另一个不可以到达的点之间的距离，还可以求两个不可以到达的点之间的距离．此类问题的解法：首先是利用工具测出所构造的三角形的有关的边和角，再通过解三角形求相应的距离．利用正弦定理解决距离问题时，通常需测出所构造三角形的两角和一边或两边和其中一边的对角；利用余弦定理解决距离问题时，通常需要测出所构造三角形的两边及其夹角或两边和其中一边的对角；有时需综合运用两个定理求解．求距离时，常会遇到方位角、方向角等概念，应正确理解，并能通过构造三角形测量距离． 2．测量高度问题 利用正弦定理、余弦定理可以解决不能到达底(顶)部的物体的高度问题．此类问题常通过解一个直角三角形和一个斜三角形或解两个直角三角形来解决．解决高度测量问题时，常会遇到仰角、俯角或视角等术语，应正确理解这些概念，弄清它们的区别与联系． 3．测量角度问题 主要是指在海上或空中测量角度的问题，如确定目标的方位，观察某一建筑物的视角等．解决此类问题的关键是根据题意和图形及有关概念，确定所求的角在哪个三角形中，该三角形中已知哪些量，需要求哪些量．通常是先根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得到所求的量，从而得到实际问题的解．解题时应认真审题，结合图形去选择定理，这是最关键、最重要的一步． 解三角形实际问题的主要类型可归纳如下(如图6-4．3．3-2)： 第二部分：必会技能常考题型及思想方法纳 必会题型一：测量角度、高度及距离问题 1．（2023·四川南充·四川省南部中学校考模拟预测）一艘海轮从处出发， 以每小时 40 海里的速度沿东偏南方向直线航行， 30 分钟后 到达 B 处．在 C 处有一座灯塔， 海轮在 A 处观察灯塔， 其方向是东偏南， 在 B 处观察 灯塔， 其方向是北偏东，那么 B、C 两点间的距离是（    ） A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 2．（2023·吉林·统考二模）近日，吉林市丰满区东山顶上新建了一处打卡地朱雀云顶观景塔，引来广大市民参观,某同学在与塔底水平的A处利用无人机在距离地面21的C处观测塔顶的俯角为，在无人机正下方距离地面1的B处观测塔顶仰角为，则该塔的高度为（    ） A．15 B．16 C． D． 3．（2019秋·广西南宁·高二南宁三十六中校考期中）如图所示，为测一树的高度，在地面上选取、两点，从、两点分别测得树尖的仰角为、，且、两点之间的距离为，则树的高度为（    ） A． B． C． D． 4．[多选]（2022秋·河北石家庄·高三校考期末）一艘轮船航行到A处时看灯塔B在A的北偏东，距离12海里，灯塔C在A的北偏西，距离为12海里，该轮船由A沿正北方向继续航行到D处时再看灯塔B在其南偏东方向，下面结论正确的有（    ） A． B． C．或 D． 5．[多选]（2022·高二课时练习）如图所示，为了测量A，B处岛屿的距离，小明在D处观测，A，B分别在D处的北偏西15°、北偏东45°方向，再往正东方向行驶30海里至C处