思想01 数形结合思想-【小题小卷】冲刺2023年高考数学小题限时集训（全国通用）

思想01 数形结合思想 难度：★★★★☆ 建议用时： 30分钟 正确率 ： /30 一、单选题 1．（2023·浙江省·模拟题）记为点到平面的距离，给定四面体，则满足的平面的个数为（    ） A．1 B．2 C．5 D．8 【答案】D 【解析】到点的距离相等的平面有两种类型，与平面平行或者经过的某一条中位线． 当平面与平面平行时，如下图1， 设的三等分点分别为，对于平面， 利用三角形相似可知，平面符合题意． 在线段的延长线上取使得， 对于平面，利用三角形相似可知， 平面符合题意． 设的中点分别为E、F和 当平面经过的中位线EF时． 如下图2：对于平面，在线段上且， 利用三角形相似可知， 又，可得， 且E、F分别为的中点， 则、、到平面的距离相等， 因此平面符合题意． 如下图3：对于平面，在线段上，在线段上， 且， 利用三角形相似可知， 又，可得， 且E、F分别为的中点， 则、、到平面的距离相等， 因此平面符合题意． 对于中位线、，也有类似结论． 综上所述，符合题意的平面共有8个． 故选 2．已知正四棱台的各顶点都在球O的球面上，若，四棱台的高为2，且球心O在平面ABCD与平面之间不在两平面内，则线段AB长度的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】该四棱台如图所示， 因为，则又， 球心O在GH上，A，都在球面上，故，设， ，所以，解得，由图可知，，， ，又， 即AB的取值范围为 故答案为： 3．已知，分别是双曲线C：的左、右焦点，过点垂直于实轴的直线交双曲线C的右支于P，Q两点．过双曲线C的右顶点作平行于双曲线C的一条渐近线的直线l，若直线l交线段PQ于点M，且，则双曲线C的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】PQ垂直于x轴，过右顶点且平行于一条渐近线的直线l的方程设为，设，可得， 可设，，由，，联立，可得， 又，， 化简可得， ， ， 故选： 4．在等边中，D、E分别是BC、AD的中点，有以下两个结论： ①，②，则下列说法正确的是（    ） A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立 C．①不成立，②不成立 D．①不成立，②成立． 【答案】C 【解析】建立以BC为x轴，DA为y轴的直角坐标系， 不妨设，，，， 则， ， 设AB中点为F，与相交不平行， 故选 5．（2023·湖北省·月考试卷）设点F是抛物线的焦点，l是该抛物线的准线，过抛物线上一点A作准线的垂线AB，垂足为B，射线AF交准线l于点C，若，，则抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可知，，，， 可得，由抛物线的定义得， 所以是等边三角形，所以，所以抛物线的方程是 6．已知经过点的直线l与抛物线交于A，B两点异于坐标原点，且交AB于点D，则（    ） A．线段AB 长度的 最小值为2p B． C．D点的轨迹是圆 D．的最小值为 【答案】B 【解析】设直线l的方程为，， 联立可得： 所以 所以当时，线段AB长度的最小值为4p，A错误； 所以，B正确； 由题意可知，D点在以原点和点为直径，且在抛物线内部的圆弧上，所以C不正确； 因为，所以，且 所以，即 D不正确．故选 7．（2023·北京市·模拟题）正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】作出图形，连接该正四棱台上下底面的中心，如图所示， 因为该正四棱台上下底面边长分别为2，4，侧棱长为2， 所以该棱台的高， 下底面面积，上底面面积， 所以该棱台的体积 故选： 8．（2023·北京市·模拟题）已知函数，那么不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】分别画出与的图象，如下图所示： 由图象知，不等式的解集为 故选： 9．（2023·云南省·模拟题）如图，正方形ABCD中，M、N分别是BC、CD的中点，若，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【解析】以AB，AD为坐标轴建立平面直角坐标系，如图： 设正方形ABCD的边长为1， 则，，，，， 所以， ， ， ，解得， ， 故选 10．（2023·广东省东莞市·单元测试）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】接：画出图形，如下图． 选取为基底，则， 故选 11．（2023·北京市·原创试题）任意画一个正三角形，并把每一条边三等分，分别取三等分后的各边中间一段为边向外作正三角形，并把这“中间一段”擦掉，得到如图所示的六角星，点O是该六角星的中心，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】