(4)平面的基本事实、空间中的平行关系、空间中的垂直关系-【衡水金卷·先享题】2025-2026学年高一数学必修第三册&必修第四册同步周测卷（人教B版）

高一周测卷 ·数学（人教B版）必修第四册· 高一同步周测卷/数学必修第四册（四） 9 命题要素一贤表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ.运算求解能力Ⅳ.空间想象能力V.数据处理能力 Ⅵ.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 题型 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 值 (主题内容) I Ⅲ ① ②⑧③④ ⑥ 档次 系数 平行关系与充要性 1 选择题 5 易 0.80 的综合 平面基本事实的 选择题 5 易 0.78 应用 选择题 5 线面距 中 0.65 4 选择题 5 异面直线所成的角 中 0.50 由线面平行的性质 选择题 中 0.45 求线段之比 选择题 截面问题 中 0.40 7 两直线平行、异面的 选择题 6 v 易 0.75 判断 空间位置关系、体 选择题 6 中 0.35 积、线面角等的综合 与位置关系有关的 9 填空题 易 0.80 开放题 立体儿何中的最值 10 填空题 5 中 0.35 问题 点共面、线共点、线 11 解答题 13 易 0.72 面平行的判定 线线垂直的判定、等 12 解答题 15 中 0.55 积法求点面距 线面垂直，二面角， 13 解答题 20 与立体几何有关的 雅 0.28 新定义问题 ·35· ·数学（人教B版）必修第四册· 参考答案及解析 季考答案及解析 一、选择题 5.D【解析】连接AC交BE于G,连接FG,因为PA∥ 1.A【解析】若m∥B,n∥B,则a,β可能平行，也可能 平面EBF,PAC平面PAC,平面PAC∩平面BEF= 相交，故a∥B不一定成立，若a∥B,则m∥B,n∥B,故 a∥B是m∥B,n∥B的充分不必要条件.故选A. FG,所以PA/FG,所以览-会品又AD/BC,E为 2.B【解析】自行车的前轮、后轮、排脚与地面的三个 接触点不在同一条直线，它们可以确定一个平面，因 AD的中点，所以瓷-能-子，所以既-令故 此自行车就稳了.故选B. 选D. 3.C【解析】如图，连接AC1,BD,它们交于点O,则 AC1⊥B1D1,又AA1⊥平面A1B1C1D1,B1DC平面 A1B1C1D1,所以AA:⊥BD1,因为AA∩AC1= A1,AA1,AC1C平面AA1C1C,所以B1D1⊥平面 AAC1C,所以BO的长即为棱BB1到平面AAC1C D 的距离，面B0-=号。所以所求距离为号。放选C D 6.B【解析】如图所示，在三棱锥P一ABC中，过E分 别作EF∥AB,EH∥PC,再分别过点F,H作FG∥ PC,HG∥AB,可得E,F,G,H四点共面，因为AB中 平面EFGH,EFC平面EFGH,所以AB∥平面EF GH,同理，PC∥平面EFGH,所以截面即为平行四边 形EFGH,又由E为线段AP上更靠近P的三等分 D 点，且AB+2PC=9,所以EF=子AB,EH=号PC 所以平行四边形EFGH的周长为2(EF十EH)= 4.C【解析】连接AC,BD相交于点O,连接OE,OP, 则O是AC,BD的中点，故OE∥PA,故∠BEO即为 号(AB+2P0)=6,故送B 异面直线PA与BE所成的角或其补角，由于PA 2,AB=2,BD=2,OE=7PA=1,OB=7BD= 1,由于cos∠PCB= PC ，故BE= 4 √CE+BC-2CE·BC·cos∠PCB= √1+(W2)-2X1×√2× 4 L=2,故BE=OE +BO,所以OE⊥OB,结合OE=OB,故∠BEO= 不，即异面直线PA与BE所成的角为平放选C 二、选择题 D 7.AD【解析】根据题意，画出该正方体的直观图，对 于A,易得AF∥BG,A正确：对于B,CH与BD异 面，B错误；对于C,直线EI与BG相交，C错误；对于 D,直线EI与BD异面，D正确.故选AD. 0 ·36· 高一周测卷 ·数学（人教B版）必修第四册· H(F) G(I 三、填空题 9.①②→③（或③⑤→④，或④⑤→③）【解析】从已 知5个论断看，任取3个组成一个命题，只有涉及平 面a,B,y和直线m四个元素中的三个时才可能构成 一个正确的命题，因此可组成两组①②③和③④⑤， 由①②③组成命题：①②→③，m∥B,只要过m作一 个平面与B相交，交线为n,则m∥n,由m⊥a得n⊥ a,从而可得3⊥a,是真命题，但把③作为条件，①②中 一个作为结论时，与a或m与B的位置关系不确 8.ABD【解析】对于A,在正八面体ABCDEF中，连 定，不能得出正确命题，由③④⑤构成命题：③⑤→ 接BD,EF,由对称性可知，EF⊥平面ABCD,且BD, ④，④⑤→③，③④→⑤.在已知a⊥B,a⊥y时，B,y可 EF,AC相交于点O,O为BD,EF,AC的中点，又AE 能平行也可能相交，所以③④→⑤是假命题.一个平 =EC=AF=CF=3,AB=BC=CD=DA=3,故四 面垂直于两个平行平面中的一个，必垂直于另一个 边形AECF为菱形，四边形ABCD为菱形，可知AC 例如，α⊥B,根据面面垂直的性质定理α内必有直线 ⊥EF,AC⊥BD,又EF,BD是平面BEDF内两条相 与B垂直（与交线垂直的直线），而B∥Y,则这条直线 交直线，所以AC⊥平面BEDF,又DEC平面 也与y垂直，从而有a⊥Y,因此③⑤→④，④⑤→③是 BEDF,故AC⊥DE,故A正确；对于B,因为O为 真命题.故可填①②→③，③⑤→④，④⑤→③中的任 BD,EF的中点，所以四边形BEDF是平行四边形， 意一个. 所以DE∥BF,因为DEC平面EAD,FB丈平面 10.3十√5【解析】：PA⊥平面ABC,AB,BCC平面 EAD,所以FB∥平面EAD,因为AE∥FC,AEC平 ABC,∴.PA⊥AB,PA⊥BC,,AB⊥BC,PA∩AB 面EAD,FC丈平面EAD,所以FC∥平面EAD,又 =A,PA,ABC平面PAB,.BC⊥平面PAB,又PB FB,FC在平面FCB内相交于点F,所以平面EAD∥ C平面PAB,BC⊥PB:将侧面PAB,PBC沿PB 平面FCB,故B正确：对于C,因为AC⊥平面BEDF, 展开，得到展开图如下图所示，则当AD⊥PC,AD∩ 故直线BC与平面BEDF所成的角为∠CBO,由对称 PB=E时，AE+DE取得最小值.PA=AB= 性可知，由AB=3,易求得正方体的棱长为 2V6,PALAB,∠APB=于，PB=VPA+AB 2ABsn45=2X3×号=3反.所以AC=3反，所以 AB十BC=AC,于是得AB⊥BC,又四边形ABCD =4am∠BpC-%-9∠BPC=F 是菱形，所以四边形ABCD是正方形，所以AC⊥ sm∠APD=sin(平+若)=sin平cos若+os于· BD,OB=OC,故∠CBO=45°，故C错误；对于D,三 棱锥F-ADP的体积VF-ADP=VA-DP,其中点A到 sin 6+√ ,·(AE+DE)m=PA· 平面FDP的距高为A0=BD= 号，设菱形 sin∠APD=26×6+E=3+B. BFDE的面积为S,则S=X BDX EF=-号X3E ×3E=9,Sm=号5=号，若点P为按EB上的 9 动点，则三棱锥F一ADP的体积为定值号XS△PX 3E-92,故D正确.故选ABD. 2 4 四、解答题 11.解：(1)连接AB, 因为E,F分别是AB,AA的中点， 所以EF∥AB,且EF=AB, (2分) 由正方体性质可得AD∥BC,AD=BC, 所以四边形ABCD,是平行四边形， 所以CD1∥AB, (4分) 于是得EF∥CD, ·37· ·数学（人教B版）必修第四册· 参考答案及解析 所以E,F,D,C四点共面， (5分) (2)由(1)知EF∥CD, 6,PM-10 2 2 又EF丈平面BCD1,CDC平面BCD, 在△PAM中，根据余弦定理可得cos∠APM= 所以EF∥平面BCD. (7分) (3)分别延长D1F,CE交于点P, PA+PM-AM 4 2√30 因为P∈DF,D1FC平面ADDA1, 2PA·PM 2X5×@ 15 所以P∈平面ADD1A, (9分) 2 同理，P∈平面ABCD, (10分) -105 又平面ADD1A∩平面ABCD=AD, 所以血∠APM=V-() 15 所以P∈AD, (12分) 所以可得CE,D1F,DA三线共点. (13分) 故Saw=PA·PMsn∠APM D 是xxx- 2 15 4 (10分) B F号Saue·PD=X号ABMCPD Vn-ae=15 ××1×号x1-， 12 (12分) 设C到平面PAM的距离为h, 又因为VP-K=Vc-M: 所以可得V-w=子SaM·h 1②， D 解得h=? 7 12.解：(1)在矩形ABCD中，∠DAB=∠ABM=90°， 铝龈-， 即C到平面PAM的距离为， (15分) 13.解：(1)因为在直三棱柱ABC-ABC中，AA⊥ 所以△ABD∽△BMA, 平面ABC,AC,ABC平面ABC, 所以∠ADB=∠BAM, (2分) 所以AA⊥AC,AA1⊥AB, (1分) 设AM与BD交于点O, 所以∠BAM+∠ABD=∠ADB+∠ABD=90°， 所以点A的曲率为2m一2X受-∠BAC- 3 所以∠AOB=90°， 即AM⊥BD, (4分) 解得∠BAC=受， (2分) 又因为PD⊥底面ABCD,AMC平面ABCD, 因为AB=AC, 所以PD⊥AM, (5分) 所以△ABC为等边三角形， 因为PD∩BD=D,BD,PDC平面PBD, 因为N为AB的中点， 所以AM⊥平面PBD, (6分) 所以CN⊥AB, (4分) 因为PBC平面PBD, 因为AA1⊥平面ABC,CNC平面ABC, 所以AM⊥PB. (7分) 所以AA1⊥CN, (5分) 因为AA:∩AB=A,AA:,ABC平面ABB1A1, 所以CN⊥平面ABB1A. (6分) (2)取AC的中点F,连接BF,MF, 因为△A1BC1为等边三角形， 所以BF⊥AC, 因为三棱柱ABC一A1B,C为直三棱柱， D 所以平面AACC⊥平面ABC, C 因为平面AAC1C∩平面A1BC=AC,BFC平 面ABC, 所以BF⊥平面AACC, (9分) (2)由题意知PD=DC=1,AD=√2，底面ABCD是 因为AM,MFC平面AA,CC 矩形，PD⊥底面ABCD, 所以BF⊥AM,BF⊥MF, 所以可得PA=5,PC=2,BM=CM=E, 设AB=√2， AM- 2 则AA1=2,AM=BM=3,AB=√6， ·38· 高一周测卷 ·数学（人教B版）必修第四册· 所以AM+BMP=AB, (3)设多面体有M个面，给组成多面体的多边形编 所以AM⊥BM, 号，分别为1,2，…，M号， 因为B1F∩BM=B,B1F,BMC平面BFM, 设第i号(1≤i≤M0多边形有L,条边， 所以AM⊥平面BFM, 则多面体共有L=L十L…+L丛条棱， 因为MFC平面B:FM 2 所以AM⊥MF, 由题意，多面体共有D=2一M十L=2一M十 所以∠FMB:为二面角B,一AM一C的平面角， 十L十…十LM个顶点， (12分) 2 i号多边形的内角之和为πL:一2π， 因为MF 所以所有多边形的内角之和为π(L,十L2十…十 LM)-2πM, (18分) FM_2 所以在R△FMB中，cos∠FMB=MB=乞， 所以多面体的总曲率为2πD一[π(L1十L,十…十 LM)-2πMI 所以二面角B一AM一C的余弦值为号. (14分) =2π(2-M+b+L十十Lw -[π(L1+L2+… 2 +LM)-2πM]=4π， 所以简单多面体的总曲率为常数4π， (20分) F ·39·高一同步周测卷/数学必修第四册 (四)平面的基本事实、 空间中的平行关系、空间中的垂直关系 (考试时间40分钟，满分100分) 一、选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的) 1.设a,3是两个不同的平面，m,n是两条不重合的直线，若mCa,nCa,则“a∥B”是“m ∥B,n∥3”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.当我们停放自行车时，只要将自行车的排脚放下，自行车就稳了，这用到了 A.三点确定一个平面 B.不在同一直线上的三点确定一个平面 C.两条相交直线确定一个平面 D.两条平行直线确定一个平面 3.已知正方体ABCD一A1B1CD1的棱长为a,则棱BB1到平面AA1CC的距离为 e B.a D.√2a 4.在正四棱锥P一ABCD中，PA=2,AB=√2，E是PC的中点，则异面直线PA与BE 所成的角为 A. B等 c D.君 5.如图，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，E为AD的中点，F为PC上一点，当 PA/平面EBF时，瓷 B. E-δ C 数学（人教B版）必修第四册第1页（共4页） 衡水金卷·先享题· 6.在三棱锥P一ABC中，AB十2PC=9,E为线段AP上更靠近P的三等分点，过E作 平行于AB,PC的平面，则该平面截三棱锥P一ABC所得截面的周长为 A.5 B.6 C.8 D.9 二、选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 7.如图，这是一个正方体的展开图，若将它还原为正方体，则 A.AF∥BG B.CH∥BD C.直线EI与BG异面 D.直线EI与BD异面 8.化学中经常碰到正八面体结构（正八面体是每个面都是正三角形的八面体），如六氟 化硫（化学式SF,)、金刚石等的分子结构.将正方体六个面的中心连线可得到一个正 八面体（如图1），已知正八面体E一ABCD一F(如图2)的棱长为3，则 D 图1 图2 A.AC⊥DE B.平面EAD∥平面FCB C.直线BC与平面BEDF所成的角为60° D.若点P为棱EB上的动点，则三棱锥F-ADP的体积为定值y区 班级 姓名 分数 题号 2 3 4 5 6 8 答案 高一同步周测卷四 数学（人教B版）必修第四册第2页（共4页） 三、填空题（本题共2小题，每小题5分，共10分） 9.已知三个不同的平面a,β，Y和一条直线m,给出五个论断：①m⊥a;②m∥B;③a⊥B; ④α⊥Y;⑤β∥Y.以其中的两个论断作为条件，一个论断作为结论，写出一个正确的命 题 .(用序号表示) 10.《九章算术》中将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图，在鳖臑PABC 中，PA⊥平面ABC,AB⊥BC,PA=AB=2√6，BC=4,D,E分别为棱PC,PB上一 点，则AE十DE的最小值为 四、解答题（本题共3小题，共48分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 11.(本小题满分13分)》 如图所示，在正方体ABCD一A1BC1D1中，E,F分别是AB,AA1的中点.求证： (1)E,F,D1,C四点共面； D (2)EF∥平面BCD1; (3)CE,D1F,DA三线共点. D 12.(本小题满分15分)》 如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD,PD=DC=1,AD=√2， M为BC的中点. (1)求证：AMIPB; (2)求C到平面PAM的距离. D-- B 数学（人教B版）必修第四册第3页（共4页） 衡水金卷·先享题· 13.(本小题满分20分) 空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点 的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫作多面 体的面角，角度用弧度制，例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为， 故其各个顶点的曲率均为2x-3×等=元，如图，在直三棱柱ABC-AB,C中，点A 的曲率为，N,M分别为AB,CC的中点，且AB=AC. (1)证明：CN⊥平面ABB1A1; (2)若AA1=√2AB,求二面角B1一AM-C1的余弦值； (3)表面经过连续变形可以变为球面的多面体称为简单多面体.关于简单多面体有 著名的欧拉定理：设简单多面体的顶点数为D,棱数为L,面数为M,则有：D一L十 M=2.利用此定理试证明：简单多面体的总曲率（多面体有顶点的曲率之和）是 常数. ⊙ A B1 高一同步周测卷四 数学（人教B版）必修第四册第4页（共4页）