8.2幂的乘方与积的乘方(讲+练)-【重要笔记】2022-2023学年七年级数学下册重要考点精讲精练（苏科版)

8.2幂的乘方与积的乘方 幂的乘方 (am)n=amn (m，n是正整数) 幂的乘方，底数不变，指数相乘 积的乘方 (ab)n=anbn (n为正整数) 积的乘方，把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘 题型1：幂的乘方法则 1．（x2）2的计算结果是 　x4　． 【分析】利用幂的乘方的法则进行计算，即可得出答案． 【解答】解：（x2）2＝x4， 故答案为：x4． 【变式1-1】若am＝2，则a3m的值为　8　． 【分析】根据幂的乘方运算法则求解即可． 【解答】解：∵a3m＝（am）3， ∵am＝2， ∴a3m＝23＝8． 故答案为：8． 【变式1-2】已知10x＝20，100y＝50，则x+2y＝　3　． 【分析】根据同底数幂的乘法以及幂的乘方运算法则计算即可． 【解答】解：∵10x＝20，100y＝50， ∴102y＝50， ∴10x•102y＝20×50＝1000， ∴10x+2y＝103， ∴x+2y＝3． 故答案为：3． 【变式1-3】已知：2x+3y+3＝0，计算：4x•8y的值＝　　． 【分析】根据幂的乘方、同底数幂的乘法的计算公式即可得结果． 【解答】解：∵2x+3y+3＝0， ∴2x+3y＝﹣3， 4x•8y＝22x•23y＝2（2x+3y）＝2﹣3． 故答案为：． 题型2：积的乘方法则 2. 计算（﹣3ab3）2＝　9a2b6　． 【分析】根据积的乘方运算法则可得答案． 【解答】解：（﹣3ab3）2＝9a2b6． 故答案为：9a2b6． 【变式2-1】计算：（﹣0.25）2021×42020＝　﹣0.25　． 【分析】直接利用幂的乘方运算法则以及积的乘方运算法则化简得出答案． 【解答】解：（﹣0.25）2021×42020 ＝（﹣0.25）2020×42020×（﹣0.25） ＝（﹣0.25×4）2020×（﹣0.25） ＝1×（﹣0.25） ＝﹣0.25． 故答案为：﹣0.25． 【变式2-2】若x3n＝3，则（2x3n）3+（﹣3x2n）3＝　﹣27　． 【分析】根据幂的乘方与积的乘方运算法则，把（2x3n）3与（﹣3x2n）3化为还有x3n的形式，再把x3n＝3代入计算即可． 【解答】解：∵x3n＝3， ∴（2x3n）3+（﹣3x2n）3 ＝8（x3n）3﹣27（x3n）2 ＝8×33﹣27×32 ＝8×27﹣27×9 ＝（8﹣9）×27 ＝﹣27． 故答案为：﹣27． 题型3：高次幂比较大小 3. 比较2100与375的大小． 【分析】把两个数化成指数相同底数不同的数，通过比较底数比较大小． 【解答】解：2100＝（24）25＝1625，375＝（33）25＝2725， ∵1625＜2725， ∴2100＜375． 【变式3-1】比较大小：2100与375 【分析】根据幂的乘方，可化成指数相同的幂，根据指数相同，底数越大，幂越大，可得答案． 【解答】解：2100＜375， 理由：2100＝（24）25＝1625， 375＝（33）25＝2725， 27＞16， 2725＞1625， ∴2100＜375． 【变式3-2】用幂的运算知识，你能比较出3555与4444和5333的大小吗？请给出科学详细的证明过程． 【分析】此题根据幂的乘方，底数不变，指数相乘，把3555、4444和5333变形为指数相同的三个数，再比较它们的底数即可求出答案． 【解答】解：因为它们的指数为555，444，333，具有公因式111，所以3555＝（35）111＝243111，4444＝（44）111＝256111，5333＝（53）111＝125111， 而256111＞243111＞125111，所以4444＞3555＞5333 题型4：综合运用 4. 若x＝2m，y＝3+4m，用含x的代数式表示y，则y＝　3+x2　． 【分析】直接利用幂的乘方运算法则表示出y与x之间的关系即可． 【解答】解：∵x＝2m， ∴y＝3+4m ＝3+22m ＝3+（2m）2 ＝3+x2． 故答案为：3+x2． 【变式4-1】（1）若x＝2m+1，y＝3+4m．请用含x的代数式表示y；如果x＝4，求此时y的值； （2）已知2a＝5b＝10，判断a+b和ab的大小． 【分析】（1）利用幂的乘方的法则进行整理，再代入相应的值运算即可； （2）利用积的乘方的法则进行求解即可． 【解答】解：（1）∵x＝2m+1， ∴2m＝x﹣1， ∴y＝3+4m． ＝3+（22）m ＝3+（2m）2 ＝3+（x﹣1）2 ＝3+x2﹣2x+1 ＝x2﹣2x+4， 即y＝x2﹣2x+4， 当x＝4时，y＝42﹣2×4+4＝12； （2）∵2a＝5b＝10， ∴2a×5b＝10×10， 2a×5b＝102， 则当a＝b＝2时，式子成立