8.2.1两角和与差的余弦-【题型·技巧培优系列】2022-2023年高一数学同步精讲精练（人教B版2019必修第三册）

8.2.1两角和与差的余弦 题型1 两角和与差的余弦公式求值 1 题型2 两角和与差的余弦逆用 2 题型3 利用两角和与差的公式化简 4 题型4 凑角求值 4 ◆类型1相减型 4 ◆类型2相加型 5 ◆类型3已知一个角型 5 ◆类型4平方型 6 ◆类型5凑叫求角 6 题型5 在三角形中的应用 6 知识点.两角和与差的余弦公式 名称 简记符号 公式 使用条件 两角差的余弦公式 C(α－β) cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β α，β∈R 两角和的余弦公式 C(α＋β) cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β α，β∈R 题型1 两角和与差的余弦公式求值 【方法总结】 （1）在两角差的余弦公式cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β中，只要用-β替换β，便可以得到两角和的余弦公式. （2）可简单记为“余余正正，符号相反”，即展开后的两项分别为两角的余弦乘余弦、正弦乘正弦；展开前两角间的符号与展开后两项间的符号相反.. 【例题1-1】求下列式子的值：（1）；（2）；（3）；（4）；(5)； (6)；（7）. 【变式1-1】1.cos 75°－cos 15°的值等于 ． 【变式1-1】2．化简sin＋sin等于(　　) A．－sin x B．sin x C．－cos x D．cos x 【变式1-1】3.已知cos α＝－，α∈，sin β＝－，β是第三象限角，则cos(β－α)的值是(　　) A．－ B. C. D．－ 【变式1-1】4．在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称．若sin α ＝，则cos(α－β)＝ . 【变式1-1】5.已知α，β均为锐角，且cos α＝，cos β＝，求α－β的值． 【变式1-1】6.已知锐角α，β满足sin α＝，cos β＝，则α＋β＝ . 【变式1-1】7.已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】8．（2023秋·山东临沂·高一校考期末）已知，，则______. 题型2 两角和与差的余弦逆用 【方法总结】 （1）运用两角差的余弦公式解决问题要深刻理解公式的特征，不要死记. （2）在逆用公式解题时，还要善于将特殊的值变形为某特殊角的三角函数值. 【例题2-1】求下列式子的值：（1）； (2);（3）； （4）； (5) 【变式2-1】1．求下列式子的值：（1）； （2）；（3）； （4）;(5)cos20°cos40°－sin160°cos50°; 【变式2-1】2.计算下列各式的值： (1)cos 47°cos 137°＋sin 47°sin 137°; (2)cos(θ＋21°)cos(θ－24°)＋sin(θ＋21°)sin(θ－24°)； (3)cos75°cos15°－sin435°sin15°; (4)sin 460°sin(－160°)＋cos 560°cos(－280°); (5)-sin 167°·sin 223°＋sin 257°·sin 313°; 【变式2-1】3．（2022春·广西桂林·高一校考期中）若，且，则的值是（  ） A． B． C． D． 【变式2-1】4．（2023·高一课时练习）满足的一组、的值是_______． 【变式2-1】5．形如的式子叫做行列式，其运算法则为＝ad－bc，则行列式 的值是 ． 【变式2-1】6．满足sin x＋cos x＝的角x等于 ． 【变式2-1】7．函数f(x)＝cos 2xcos －sin 2xsin 的单调递增区间是(　　) A.(k∈Z)B.(k∈Z) C.(k∈Z)D.(k∈Z) 题型3 利用两角和与差的公式化简 【例题3】化简下列各式的值： （1）；（2）；（3）；（4）. 【变式3-1】1.化简：_______． 【变式3-1】2.化简：________． 【变式3-1】3.化简： 【变式3-1】4.证明：． 【变式3-1】5.证明： 题型4 凑角求值 【方法总结】常见角的变换有： ①α＝(α－β)＋β；②α＝＋；③2α＝(α＋β)＋(α－β)；④2β＝(α＋β)－(α－β)． ◆类型1相减型 【例题4-1】α，β为锐角，cos(α＋β)＝，cos(2α＋β)＝，求cos α的值． 【变式4-1】1.已知α，β∈，且sin α＝，cos(α＋β)＝－，求cos β的值． 【变式4-1】2.已知锐角α，β满足cos α＝，cos(α＋β)＝－，则cos(2π－β)的值为(　　) A. B．－ C. D．－ 【变式4-1】3．若cos(α＋β)＝，sin＝