8.2.2两家和与差的正弦、正切-【题型·技巧培优系列】2022-2023年高一数学同步精讲精练（人教B版2019必修第三册）

8.2.2两家和与差的正弦、正切 题型1 两角和与差的正弦公式求值 2 题型2 两角和与差的正弦逆用 2 题型3 两角和与差的正切公式求值 3 题型4 两角和与差的正切逆用 4 ◆类型1分式型 4 ◆类型2整式型 5 ◆类型3综合型 5 题型5 利用两角和与差的公式化简 6 题型6 凑角求值 7 ◆类型1相减型 7 ◆类型2相加型 7 ◆类型3已知一个角型 8 ◆类型4平方型 8 ◆类型5凑叫求角 8 题型7 在三角形中的应用 9 知识点一.两角和与差的正弦公式 名称 简记符号 公式 使用条件 两角和的正弦 S(α＋β) sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β α，β∈R 两角差的正弦 S(α－β) sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β α，β∈R 知识点二.两角和与差的正切公式 名称 公式 简记符号 条件 两角和的正切 tan(α＋β) ＝ T(α＋β) α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z) 两角差的正切 tan(α－β) ＝ T(α－β) α，β，α－β≠kπ＋(k∈Z) 题型1 两角和与差的正弦公式求值 【方法总结】两角和与差的正弦公式结构特征 （1）a，β可以是单个角，也可以是两个角的和或差，在运用公式时常将两角的和或差视为一个整体。 （2）记忆口诀：异名同号。 【例题1-1】求下列式子的值：（1）；(2);（3）； 【变式1-1】1.求下列式子的值：（1）；（2） 【变式1-1】2．已知均为锐角，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】3．（2023秋·河南洛阳·高一统考期末）已知，，，则＝______． 【变式1-1】4．（2023秋·湖南湘潭·高一统考期末）若角终边上一点的坐标为，其中. (1)求的值； (2)若，求的值. 题型2 两角和与差的正弦逆用 【方法总结】 （1）运用两角差的正弦公式解决问题要深刻理解公式的特征，不要死记. （2）在逆用公式解题时，还要善于将特殊的值变形为某特殊角的三角函数值. 【例题2-1】求下列式子的值：(1);(1); (3) ;(4); (5); 【变式2-1】1．求下列式子的值：(1); (2);(3); （4）;(5); （6）；（7）； （8）． 【变式2-1】2.已知，那么的值为______． 题型3 两角和与差的正切公式求值 【方法总结】 符号变化规律可简记为“分子同，分母反”。 注意：公式中的α，β，α+β，α-β都不能等于kπ＋(k∈Z。 【例题3】求下列式子的值：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）； 【变式3-1】1.求下列式子的值：1．（1）；（2）；（3）； 【变式3-1】2．（2023·陕西榆林·统考一模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】3．（2022春·北京顺义·高一北京市顺义区第一中学校考阶段练习）已知，则________． 【变式3-1】4．已知，则________________． 【变式3-1】5．（2023·贵州贵阳·统考一模）赵爽是我国汉代数学家，他在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”被选为第24届国际数学家大会的会徽.如图所示，“赵爽弦”图中的大正方形是由4个全等的直角三角形和小正方形拼成，现连接，当正方形的边长为1且其面积与正方形的面积之比为1∶5时，___________. 题型4 两角和与差的正切逆用 【方法总结】两角和的正切公式的常见四种变形： T(α＋β)： ①tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)； ②tan α＋tan β＋tan α·tan β·tan(α＋β)＝tan(α＋β)； ③④tan α·tan β＝1－. ④1－tan αtan β＝； T(α－β)： ①tan α1tan β＝tan(α1β)(1+tan αtan β)； ②tan α-tan β-tan α·tan β·tan(α-β)＝tan(α-β)； ③④tan α·tan β＝-1 ④1+tan αtan β＝； ◆类型1分式型 【例题4-1】求下列式子的值：（1）；（2）；（3）；（4）； 【变式4-1】（2023·高一课时练习）化简：______． ◆类型2整式型 【例题4-2】求下列式子的值：（1）； （2） ；（3）； （4）tan 25°－tan 70°＋tan 70°tan 25°；（5）. 【变式4-2】1．（2022春·陕西榆林·高一校考期末）已知，均为锐角，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】2．（2020春·重庆巫山·高一阶段练习）已知，则（    ） A． B．1 C． D．2 【变式4-2】3.中已知且