6.3.5平面向量数量积的坐标表示（讲+练）-【高分突破系列】2022-2023学年高一数学同步讲练测（人教A版2019必修第二册）

6.3.5平面向量数量积的坐标表示 目 录 速 览 第一部分：考点梳理知识方法技巧总结 第二部分：必会技能常考题型及思想方法 第三部分：配套必刷好题 必会题型一：向量数量积的坐标表示 必会题型二：向量模及夹角有关的问题 必会题型三：利用平面向量数量积解决垂直问题 必会题型四：数量积的坐标表示在平面几何中的应用 必会题型五：数量积的坐标表示综合 第一部分：考点梳理知识方法技巧总结 必会知识一 平面向量数量积的坐标表示 在平面直角坐标系中，设分别是与轴、轴正方向同向的单位向量，即，且为两个非零向量，，则，所以．这就是说，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和． 必会知识二 平面向量的模的坐标表示 (1)若，则或． (2)如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为，那么． 【名师点睛】(1)模长公式是用坐标表示数量积的特例，即当时，可得． (2)若点，则，所以，即的实质是两点间的距离或线段的长度，这也是向量的模的几何意义． (3)向量的单位向量的坐标表示： 向量的单位向量． 若，则， 所以， 此式为向量的单位向量的坐标表示． 必会知识三 平面向量垂直的坐标表示 设，则． 【名师点睛】设为坐标平面内的三个点，则 必会知识四 平面向量夹角公式的坐标表示 设都是非零向量，是与的夹角，根据平面向量数量积的定义及坐标表示可得 【名师点睛】(1)已知两个非零向量的坐标，就可以利用该公式求得两向量的夹角． (2)利用夹角公式求来角时，不包括中存在零向量的情况． (3)向量在向量方向上的投影向量模的坐标表示：由于向量在向量方向上的投影向量的模为，因此向量在向量方向上的投影向量的模用坐标可以表示为． (4)运用平面向量数量积的坐标表示求两向量的夹角时，的符号由确定．若，则，此时；若，则；若，则． (5)当时，向量与共线．当与同向时，；当与反向时，． 第二部分：必会技能常考题型及思想方法纳 必会题型一：向量数量积的坐标表示 1．（2022秋·河北唐山·高三开滦第二中学校考阶段练习）已知点，向量，若，则实数的值为（    ） A． B． C．2 D．1 2．（2023秋·内蒙古包头·高三统考期末）已知，，，则（    ） A． B． C．8 D．16 3．（2022秋·江苏苏州·高三统考阶段练习）已知点，是与方向相同的单位向量，则在直线上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 4．[多选]（2023·全国·模拟预测）在菱形中，，，点为线段的中点，和交于点，则（    ） A． B． C． D． 5．（2023春·广东广州·高三统考阶段练习）已知，，则在上的投影向量为________． 6．（2023秋·江西萍乡·高三统考期末）在平面直角坐标系中，向量满足 则 __________ 7．（2023春·北京·高三北京二中校考开学考试）在边长为12的正三角形中，E为的中点，F在线段上且．若与交于M，则__________． 必会题型二：向量模及夹角有关的问题 1．（2023·海南省直辖县级单位·统考模拟预测）平面向量与的夹角为，，，则等于（    ） A． B． C． D． 2．（2023春·山东济南·高三山东省实验中学校考开学考试）已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 3．[多选]（2023秋·河北石家庄·高三校联考期末）已知点、、、，则（    ） A． B． C． D． 4．[多选]（2022秋·湖北·高三校联考阶段练习）已知平面内三点，，，则（    ） A． B． C． D．与的夹角为 5．[多选]（2022秋·黑龙江大庆·高三大庆实验中学校考开学考试）下列说法中正确的有（    ） A．已知向量，，则向量在向量上的投影向量是 B．若非零向量，满足：，则与的夹角为 C．两个非零向量，，若，则与共线且反向 D．已知向量不能作为平面内所有向量的一组基底 6．（2023秋·云南·高二云南师大附中校考期末）已知向量，若，则__________. 7．（2022秋·广西梧州·高二校考开学考试）已知向量，． (1)求与的坐标； (2)求向量，的夹角的余弦值． 8．（2022秋·河南·高三校联考阶段练习）已知向量，，. (1)若，求实数的值； (2)若与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 必会题型三：利用平面向量数量积解决垂直问题 1．（云南省楚雄州2023届高三上学期期末教育学业质量监测数学试题）已知向量，，若，则m的值为（    ） A．或3 B．或3 C．或2 D．或4 2．（2023届安徽省、云南省、吉林省、黑龙江省高三下学期2月适应性测试数学试题）平面向量与相互垂直，已知，，且与向量的夹角是钝角，则（    ） A． B． C． D． 3．（2023春·江苏南京·高三南京师大附中校考开学考试）已知向量的夹角