6.4.3.1余弦定理（讲+练）-【高分突破系列】2022-2023学年高一数学同步讲练测（人教A版2019必修第二册）

6.4.3.1 余弦定理 目 录 速 览 第一部分：考点梳理知识方法技巧总结 第二部分：必会技能常考题型及思想方法 第三部分：配套必刷好题 必会题型一：根据用余弦定理求角 必会题型二：根据用余弦定理求边 必会题型三：根据用余弦定理解三角形 必会题型四：余弦定理综合 第一部分：考点梳理知识方法技巧总结 必会知识一 余弦定理及其证明 1．余弦定理：三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．即．其中分别为的角所对的边． 【名师点睛】(1)余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理(夹角为直角)是余弦定理的特例． (2)余弦定理揭示的是任意三角形的边角之间的关系，是解三角形的重要工具之一．结构特点：“平方”“乘积”“夹角”“余弦”． (3)余弦定理的表达式中，含有三边和一边的对角四个元素，可以“知三求一”． (4)利用余弦定理可以解决两类三角形问题：①已知三边求任意一个角；②已知两边及一角求第三边． (5)运用余弦定理时，因为已知三边(求角)或已知两边及一角(求第三边)，由三角形全等的判定定理知三角形是确定的，所以解也是唯一的． 2．余弦定理的推论 【名师点睛】(1)余弦定理的推论的主要作用是已知三边求角． (2)由余弦定理的椇论，知的符号取决于三角形中两边的平方和与第三边平方的大小关系，㧵此可㓞断三角形的某个刔角为锐角还是铳角． 3．余弦定理的证明 (1)证法一：向量法． 如图6-4.3.1-1，在中，的长分别为． ，即． 同理可证． (2)证法二：作高法． 如图6-4.3.1-2，对任意三角形，的长分别为． 过点作，垂足为，则有， ． 根据勾股定理可得， ． 同理可证． (3)证法三：解析法． 设的边的长分别为， b．如图6-4.3.1-3，以为坐标原点， 的边所在的直线为轴，过点 且与轴垂直的直线为轴，建立平面直角 坐标系，则．由两点间的距离公式可得． 同理可证． 必会知识二 解三角形 1．解三角形 一般地，三角形的三个角和它们的对边叫作三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫作解三角形． 【名师点睛】解三角形时必须要知道三角形至少一条边的边长，若已知条仵中没有给出边长，则这样的三角形可以是任意的，即无法碓定三角形． 2．余弦定理在解三角形中的应用 利用余弦定理可以解决以下两类解三角形的问题： (1)已知三边，求各角； (2)已知两边及一角，求第三边和其他两个角． 具体见下表： 形式 应用 已知两边及一角，求第三边 (1)已知三边求角； (2)某些需要进行边角转换的问题 【名师点睛】(1)余弦定理及其推论把用“边、角、边”和“边、边、边”判定三角形全等的方法从数量化的角度进行了刻画，使其变成了可以计算的公式． (2)余弦定理及其推论在结构上有所不同，因此在运用它们解三角形时要根据条件灵活选择． (3)利用余弦定理求角的优点在于，当角的范围在时，角度与余弦值一一对应，不需要讨论即可求出角的度数． 3．任意三角形的射影定理 在中，已知角所对的边分别为，则有． 【证明】此处仅对给出证明，其余两式同理可证．将等式右边用余弦定理的推论化角为边，得，即． 必会知识三 三角形内角范围的判定 在中，角所对的边分别为． 即如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角；如果一个三角形两边的平方和小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角；如果一个三角形两边的平方和大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角． 利用余弦定理可实现边角互化，常用余弦定理的推论及上述结论判断三角形的形状． 必会知识四 用余弦定理与整体法解决相关问题 在用余弦定理的推论时，知道的整体关系，也可以求． 例如，等．还可能出现其他情况，但大多数都可以转化为上述情况之一．另外，若不是特殊角，也可类似求解． 第二部分：必会技能常考题型及思想方法纳 必会题型一：根据用余弦定理求角 1．（2022秋·内蒙古乌兰察布·高二校考期末）在中，角、、对的边分别为、、．若，，，则角等于（    ） A． B． C． D． 2．（2021秋·河南·高二校考阶段练习）在中，角，，的对边分别是，，，已知，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 3．（2014秋·广西玉林·高二校考阶段练习）在三角形ABC中，如果，那么A等于（    ） A． B． C． D． 4．（2023·高一课时练习）在中，已知，，，则______． 5．（2023秋·广东梅州·高二统考期末）已知中，，且，则的最大值为______. 6．（2023秋·山西太原·高三统考阶段练习）如图，在中，已知边上的两条中线相交于点. (1)求的长度； (2)求的余弦值. 必会题型二：根据用余弦定理求边 1．（2023秋·云南昆明·高二昆明一